sciencetalk

Een kabel van 80m lengte is opgehangen aan twee even hoge punten.
Het kabelgewicht is gelijkmatig verdeeld (50N/m). Het totaalgewicht van de kabel is dus 80m x 50N/m =4KN
In het midden hangt de kabel 20m boven de grond.
Gevraagd:

1. Afstand tussen de palen
2. Minimale spankracht (in het midden)
3. Maximale spankracht (aan het uiteinde)

Ik heb een aantal expressies van de catenary opgezocht en krijg daarmee de volgende resultaten:

1. 57,745m
2. 80KN
3. 178,89KN

Mag hieruit geconcludeerd worden dat de spankracht in de kabel recht evenredig is met het totaalgewicht en de hoogte?
(Spankracht=G x hoogte)

Wat de hoogte betreft: ten opzichte van de grond doet het totaal niet ter zake, maar het hoogteverschil tussen de toppen van de masten en het laagste punt van de kabel is relevant. Dat is uiteraard afhankelijk van de afstand tussen de palen en de lengte van de kabel: zou je die palen bijna 80 meter uit elkaar zetten gaat de kracht richting oneindig. 
 
Het maakt verder niet uit of je in dit voorbeeld masten gebruikt van 100 meter of een kilometer hoog.

Het gaat om de buigstraal van de kabel.
 
Hoe kleiner de Buigstraal hoe hoger de kracht
Als je de straal richting oneindig wilt hebben gaat de kracht ook richting oneindig
 
een vlakke hoek zal de kabel nooit worden (hij breekt)

Mee eens, uiteraard zijn er wel (wiskundige) verbanden tussen al deze parameters.
 

correctie op minimale- en maximale spankracht!
Spankracht=(Gewicht per meter).(verticale afstand y)
S_min=50N/m.(20m)=1KN  (in het midden van de kabel)
S_max=50N/m.(44,721m)=2,24KN (aan het uiteinde van de kabel)
 
verder ben ik erachter gekomen dat het meer voor de hand ligt 2s als kabellengte te definiëren.
 
s=c.sinh(x/c)
40=20.sinh(x/20)
x=28,872m
afstand tussen de palen: L=2x=57,744m

ik ben erg roestig met het onderwerp, maar volgens mij is het een standaardsituatie.
   
het totaalgewicht van de kabel is gelijk aan de optelsom van de twee lichtblauwe pijlen. De gebogen kabel kan geen zijwaartse kracht opnemen en volgt een paraboollijn. De rode lijn volgt de hoek van de parabool aan de uiteinden. Die hoek hangt weer samen met de lichtgroene horizontale component.
 
Daaruit zou je de rest moeten kunnen afleiden. Meen ik me te herinneren, maar ik ben erg roestig, weet niet of dit iets toevoegt

Klopt helemaal, echter het fenomeen kettinglijn(Catenary) lijkt op een parabool maar is het (net)niet!
Er is veel (wiskunde) over de kettinglijn te vinden.
uiteindelijk heb ik hiermee gewerkt: met  
dan zijn dit dus de werkzame krachten

Het is inderdaad geen parabool, al zit het er in veel praktische toepassingen (bruggen, hoogspanningsleidingen etc) wel zo dicht bij dat je berekeningen niet heel erg zouden afwijken als je aannam dat de vorm een parabool was. 

Dat denk ik ook.
dit vond ik nog voor de catenary

Voor een decoratieve toepassing maakt het wellicht ook uit wat de exacte vorm is, ook als die afwijkt van de mechanisch meest gunstige vorm. Soms maakt men de meest spectaculaire vormen in gebouwen puur om het uiterlijk of om andere redenen (enorme 'gaten' in wolkenkrabbers waar 'draken' doorheen kunnen vliegen in hong kong bijvoorbeeld). 
 
Catenary lines zijn gewoon technisch de beste oplossing als je iets wilt maken tegen de best mogelijke prijs voor de vereiste functie, of dat nou een brugsteuning of hoogspanningskabel is. Zeker bij iets als hoogspanningskabels is het een goed ontwerp omdat je daar per pylon meestal draden in twee richtingen 180 graden uit elkaar hebt. De horizontale component van de kracht als gevolg van de kabels is dan nagenoeg nul (zolang het in een rechte lijn gaat) waardoor de masten feitelijk alleen de verticale kracht hoeven te dragen (uiteraard wel met de nodige marge ivm wind en dergelijke). 

Je vroeg ook nog naar de minimale spankracht in het midden. Ik weet niet hoe belangrijk die is, wil je het materiaalgebruik minimaliseren door een boog te maken met variabele dikte?
 
die minimale kracht is afhankelijk van de hoogte h, en niet van de hoogte c. Dit werd ook al genoemd in post 2 (Benmm).
 
Ik meen dat je die minimale spankracht berekent door het krachtmoment uit te rekenen (moet 0 zijn) rondom een ophangpunt. Hiervoor knip je de kabel in gedachten in tweeën en kijkt alleen naar 1 helft.
 
 
De blauwe pijl staat symbool voor het gewicht van de halve kabel. Het krachtmoment is kracht maal arm. De blauw pijl maal zijn horziontale afstand tot het ophangpunt moet even groot zijn als de groene pijl maal de hoogte h.
 
En als je heel precies wilt rekenen kun je het gewicht beter beschouwen als een verdeelde belasting, en niet als een puntlast.

Voor de goede orde: de kabel is uniform en overal even dik. ik heb de (catenary) formules niet zelf bedacht.
Ik krijg steeds meer het idee dat de formules een soort van rekentool zijn, maar weinig van doen heeft met de werkelijke (realistische) fysieke afmetingen.(vreemd eigenlijk)
Toch heb ik sterk het gevoel dat het voor wat betreft de spankrachten wel klopt!
voorbeelden:  
 
 

foutje geslopen in de pdf!
moet zijn h²+ 2hc - s²= 0

Voor het materialiseren en dimensioneren van de elementen zijn dit wel de mechanica uitgangspunten.
Maar je moet ook nog iets met de rek van de kabel, de buiging van de pijlers en de dynamische invloeden van bijvoorbeeld de wind op de kabel, ijsvorming etc.

Kijk anders eens hier: http://icozct.tudelft.nl/TUD_CT/CM5/collegestof/

Part1 en part4

Hierin wordt de DV afgeleid, en worden wat maple rekensheets gegeven.

Daarmee wordt ook het verschil tussen de simpele en catenary benadering duidelijk.