sciencetalk

Onder welke hoek (3significante cijfers),moet je een bal gooien voor het langste baantraject. negeer wrijving. Dit is knap lastig te berekenen lijkt me!

Onder een hoek van 56,4 graden, natuurlijk. Maar dat weet toch iedereen?

Ik heb het weer numeriek gedaan, mooier is natuurlijk analytisch. Ga ik later proberen.
En voor dat laatste significante cijfer durf ik m'n hand niet in het vuur te steken. Ik krijg de indruk dat het een heel 'vlak' maximum is.

Volgens mij 45°. Noem de hoek met de horizontaal β.
Dan is de verticale snelheid v⋅sinβ. Dan is de vluchttijd van de paraboolbaan (op en neer): t = (2v/g) sinβ
De horizontale snelheid is v⋅cosβ. Dan is de werpafstand s = vcosβ ⋅ t =(2v²/g)⋅sinβ⋅cosβ
Dat is maximaal bij β=45°⋅

jkien schreef: ↑zo 24 nov 2019, 22:40 Volgens mij 45°. Noem de hoek met de horizontaal β.
Dan is de verticale snelheid v⋅sinβ. Dan is de vluchttijd van de paraboolbaan (op en neer): t = (2v/g) sinβ
De horizontale snelheid is v⋅cosβ. Dan is de werpafstand s = vcosβ ⋅ t =(2v²/g)⋅sinβ⋅cosβ
Dat is maximaal bij β=45°⋅

het traject moet maximaal zijn.
hij moet niet het verste landen.

v0=v0[cos(s);sin(s)]
Y=-(g/2)*t^2 + v0*sin(s)*t
X=v0*cos(s)*g
met 0<t<2*v0*sin(s)/g

P=[X,Y]
neem de lijn integraal over P.
dan loop ik vast op deze integraal.
S(t*((g^2*t^2)/4 - v0*sin(s)*g*t + 1)^(1/2))dt met t = 0->2*v0*sin(s))/g
en moet ik numeriek verder

De booglengte kan volgens mijn documentatie met de formule in bijlage worden berekend. Een numerieke benadering met deze formule levert ook het resultaat van Xilvo op. Hiervan de afgeleide nemen om zo de ideale hoek te berekenen zal volgens mij niet lukken want je krijt een draak van een formule.

Xilvo schreef: ↑zo 24 nov 2019, 21:01 Onder een hoek van 56,4 graden, natuurlijk. Maar dat weet toch iedereen?

Wat deze iedereen weet is het 45 graden. Snelheid ontbinden in een horizontale en verticale component. Horizontale blijft gelijk, de verticale verandert onder invloed van de zwaartekracht. De rest is rekenwerk en dan kom je op 45 graden.

https://nl.wikipedia.org/wiki/Kogelbaan

klazon schreef: ↑ma 25 nov 2019, 10:49

Xilvo schreef: ↑zo 24 nov 2019, 21:01 Onder een hoek van 56,4 graden, natuurlijk. Maar dat weet toch iedereen?

Wat deze iedereen weet is het 45 graden. Snelheid ontbinden in een horizontale en verticale component. Horizontale blijft gelijk, de verticale verandert onder invloed van de zwaartekracht. De rest is rekenwerk en dan kom je op 45 graden.

Iedereen weet dat het 45 graden is voor de grootste horizontale afstand. Maar daar gaat het hier niet over.

Rik Speybrouck schreef: ↑ma 25 nov 2019, 08:48 Hiervan de afgeleide nemen om zo de ideale hoek te berekenen zal volgens mij niet lukken want je krijt een draak van een formule.

Ik denk dat de afgeleide bepalen nog wel te doen is.
Je kunt het wat makkelijker maken door v0 en g op 1 te stellen, die zullen geen invloed op de optimale hoek hebben.
Verder kun je in plaats van α, s = sin(α) als variabele kiezen, cos(α)² wordt dan 1-s², en cos(α) komt alleen als kwadraat voor in de formule.

Je krijgt dan alsnog een vrij vervelende formule waarvan je het nulpunt moet zien te vinden.

FFish schreef: ↑zo 24 nov 2019, 23:27 dan loop ik vast op deze integraal.
S(t*((g^2*t^2)/4 - v0*sin(s)*g*t + 1)^(1/2))dt met t = 0->2*v0*sin(s))/g
en moet ik numeriek verder

Die integraal is onjuist. Qua dimensie klopt het al niet.

Volgens Wolfram Alpha is de afgeleide van Ricks formule met x=sin(α)

De functie heeft een nulpunt bij x = 0,833557, wat overeenkomt met een hoek α = 56,4659 graden.

Xilvo schreef: ↑ma 25 nov 2019, 11:35 Volgens Wolfram Alpha is de afgeleide van Ricks formule
bal.jpg
met x=sin(α)

De functie heeft een nulpunt bij x = 0,833557, wat overeenkomt met een hoek α = 56,4659 graden.

das mooi

Het probleem is te reduceren tot en (helaas) alleen numeriek op te lossen.
Θ ≈56,46583513°≈ 56,5°

Xilvo schreef: ↑ma 25 nov 2019, 11:01

FFish schreef: ↑zo 24 nov 2019, 23:27 dan loop ik vast op deze integraal.
S(t*((g^2*t^2)/4 - v0*sin(s)*g*t + 1)^(1/2))dt met t = 0->2*v0*sin(s))/g
en moet ik numeriek verder

Die integraal is onjuist. Qua dimensie klopt het al niet.

ik had een schrijf fout bij X
die is cos(s)*t*v0 en ik ben P vergeten af te leiden.
Nu kan ik mijn integraal wel oplossen.
en de oplossing is van de vrom
(v0^2)*sin(s)/g-(v0^2)*(sin(s)^2-1)(ln(v0(1+sin(s)))-ln(v0(1-sin(s))))
(hoe schrijven julie dit zo fancy op?)

Vreemd, die hoek. Bijna een radiaal, maar niet helemaal.
Heeft wel iets universeels, want is niet afhankelijk van beginsnelheid of g, bijvoorbeeld.

FFish schreef: ↑ma 25 nov 2019, 13:48 (hoe schrijven julie dit zo fancy op?)

Latex
phpbb/viewtopic.php?t=134114#entry643875