y=f(x,h,R,alpha)
Geplaatst: za 08 feb 2020, 13:14
- y=f(x,h,R) 2330 keer bekeken
- expressie voor y=f(x,h,R) 2330 keer bekeken
sciencetalk
y=f(x,h,R,alpha)
1 van 1
Volgens mij is in het bovenste plaatje de hoogte y te schrijven als:
Hoe ziet y=f(x,h,R,α) eruit in het onderste plaatje?
Re: y=f(x,h,R,alpha)
Geplaatst: za 08 feb 2020, 15:29
Heb even mijn papierberg omgekeerd en heb iets gevonden dat ik eens heb opgesteld. Ik heb het niet opnieuw bekeken. Je moet het maar eens evalueren.
Re: y=f(x,h,R,alpha)
Geplaatst: ma 10 feb 2020, 12:14
Punt (R cos(alpha), R sin(alpha)) ligt op de parabool, daarmee kom ik voor het onderste plaatje uit op:
\(y=\frac{4hx}{S^2}(S-x)\)
waarbij
\(S=\frac{2R \cos \alpha}{1 + \sqrt{1 - \frac{R \sin \alpha}{h}}}\)
Re: y=f(x,h,R,alpha)
Geplaatst: ma 10 feb 2020, 12:16
Re: y=f(x,h,R,alpha)
Geplaatst: ma 10 feb 2020, 13:07
S = de afstand van de oorsprong tot het rechter snijpunt van de parabool met de x-as (= de R uit het bovenste plaatje): als x = S dan is y = 0.
Re: y=f(x,h,R,alpha)
Geplaatst: ma 10 feb 2020, 20:12
Perfect.. ik heb e.e.a gecheckt en het klopt tot in de puntjes....
Heel erg bedankt.
Dit is wat ik zocht en waar ik niet uitkwam.
Mooi dat je het op die manier geschreven hebt. Het geeft meteen de relatie met het 1e plaatje weer.
anders wordt het een nogal een expressie
Heel erg bedankt.
Dit is wat ik zocht en waar ik niet uitkwam.Mooi dat je het op die manier geschreven hebt. Het geeft meteen de relatie met het 1e plaatje weer.
anders wordt het een nogal een expressie
- expressie voor y=f(x,h,R,alpha) 2066 keer bekeken
Re: y=f(x,h,R,alpha)
Geplaatst: ma 10 feb 2020, 21:54
Oei, ik dacht dat je hem al had en alleen maar controle wilde...
Dan geef ik ook nog mijn werkwijze:
Een parabool door de oorsprong wordt beschreven door
\(y=ax^2+bx\)
en de top daarvan ligt op
\(\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} \right)\)
dus
\(h = -\frac{b^2}{4a} \; \Rightarrow \; a = -\frac{b^2}{4h}\)
De vergelijking van de parabool wordt hiermee:
\(y=-\frac{b^2}{4h}x^2+bx\)
Noem het snijpunt van de parabool en de schuine lijn = P, dan is
\(P = (R \cos \alpha, R \sin \alpha)\)
P ligt op de parabool, vul de coördinaten van P in in de paraboolvergelijking en los daaruit b op:\(b=\frac{2h+2\sqrt{h^2-hR \sin \alpha}}{R \cos \alpha}\)
Er zijn 2 oplossingen voor b, bovenstaande levert de blauwe parabool in het plaatje hieronder.
De andere oplossing van b levert de rode parabool, ook door P en ook met maximale y-waarde = h, maar ik vermoed dat je die niet nodig hebt.
Resteert nog de parabool te herschrijven in de vorm:
\(y = k \cdot x \cdot (S - x)\)
dus k te bepalen, uitgedrukt in de gegeven variabelen.Dat levert het uiteindelijke resultaat.
Je eerste plaatje is inderdaad een bijzonder geval van je tweede plaatje met alpha = 0, waardoor S = R.
Re: y=f(x,h,R,alpha)
Geplaatst: di 11 feb 2020, 05:46
ikRedCat schreef: ↑ma 10 feb 2020, 21:54Oei, ik dacht dat je hem al had en alleen maar controle wilde...
Dan geef ik ook nog mijn werkwijze:
Een parabool door de oorsprong wordt beschreven door\(y=ax^2+bx\)en de top daarvan ligt op\(\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} \right)\)dus\(h = -\frac{b^2}{4a} \; \Rightarrow \; a = -\frac{b^2}{4h}\)De vergelijking van de parabool wordt hiermee:\(y=-\frac{b^2}{4h}x^2+bx\)
Noem het snijpunt van de parabool en de schuine lijn = P, dan is\(P = (R \cos \alpha, R \sin \alpha)\)P ligt op de parabool, vul de coördinaten van P in in de paraboolvergelijking en los daaruit b op:
\(b=\frac{2h+2\sqrt{h^2-hR \sin \alpha}}{R \cos \alpha}\)
Er zijn 2 oplossingen voor b, bovenstaande levert de blauwe parabool in het plaatje hieronder.
De andere oplossing van b levert de rode parabool, ook door P en ook met maximale y-waarde = h, maar ik vermoed dat je die niet nodig hebt.
Resteert nog de parabool te herschrijven in de vorm:
\(y = k \cdot x \cdot (S - x)\)dus k te bepalen, uitgedrukt in de gegeven variabelen.
Dat levert het uiteindelijke resultaat.
Je eerste plaatje is inderdaad een bijzonder geval van je tweede plaatje met alpha = 0, waardoor S = R.
Ik weet niet of je mijn formules even heb doorlopen, maar er staat een formule tussen om de unieke lanceerhoek te berekenen waarbij de afstand langs de helling precies gelijk is aan de afgelegde afstand zonder helling
Re: y=f(x,h,R,alpha)
Geplaatst: wo 12 feb 2020, 15:31
Je hebt daar deze formule afgeleid:Rik Speybrouck schreef: ↑di 11 feb 2020, 05:46 Ik weet niet of je mijn formules even heb doorlopen, maar er staat een formule tussen om de unieke lanceerhoek te berekenen waarbij de afstand langs de helling precies gelijk is aan de afgelegde afstand zonder helling
\(RS = \frac{v_0^2 \sin 2 \epsilon}{g} \cdot \frac{1- \tan \alpha \tan \epsilon}{\cos \alpha}\)
De tweede breuk daarin wordt gelijk aan één als\(\epsilon = \text{atan}\left(\frac{1-\cos \alpha}{\tan \alpha}\right)\)
Maar hoe komen we hiermee verder?
Als we v0 willen bepalen voor een gewenste afstand RS, dan hebben we nog steeds alle 3 de constanten (g, ε en α) nodig:
bij elke α moeten we eerst opnieuw ε bepalen voordat we hem in kunnen vullen in sin(2ε) in de linker breuk.
Voorbeeld (met v0 = 20, g=10):
\(\alpha = 20^\circ \;\Rightarrow\; \epsilon = 9.408^\circ \;\Rightarrow RS = R = 12.90\)
\(\alpha = 30^\circ \;\Rightarrow\; \epsilon = 13.054^\circ \;\Rightarrow RS = R = 17.62\)
Re: y=f(x,h,R,alpha)
Geplaatst: wo 12 feb 2020, 17:18
uiteraard heb je verschillende gegevens nodig om de afstand te berekenen, de berekening van deze ene unieke hoek waarbij ze juist gelijk worden is voor de aardigheidRedCat schreef: ↑wo 12 feb 2020, 15:31Je hebt daar deze formule afgeleid:Rik Speybrouck schreef: ↑di 11 feb 2020, 05:46 Ik weet niet of je mijn formules even heb doorlopen, maar er staat een formule tussen om de unieke lanceerhoek te berekenen waarbij de afstand langs de helling precies gelijk is aan de afgelegde afstand zonder helling
\(RS = \frac{v_0^2 \sin 2 \epsilon}{g} \cdot \frac{1- \tan \alpha \tan \epsilon}{\cos \alpha}\)De tweede breuk daarin wordt gelijk aan één als
\(\epsilon = \text{atan}\left(\frac{1-\cos \alpha}{\tan \alpha}\right)\)
Maar hoe komen we hiermee verder?
Als we v0 willen bepalen voor een gewenste afstand RS, dan hebben we nog steeds alle 3 de constanten (g, ε en α) nodig:
bij elke α moeten we eerst opnieuw ε bepalen voordat we hem in kunnen vullen in sin(2ε) in de linker breuk.
Voorbeeld (met v0 = 20, g=10):
\(\alpha = 20^\circ \;\Rightarrow\; \epsilon = 9.408^\circ \;\Rightarrow RS = R = 12.90\)\(\alpha = 30^\circ \;\Rightarrow\; \epsilon = 13.054^\circ \;\Rightarrow RS = R = 17.62\)
Re: y=f(x,h,R,alpha)
Geplaatst: wo 12 feb 2020, 18:02
OK, dan klopt alles weer.
Ik was al aan het zoeken of ik misschien iets miste of over het hoofd zag.
Inderdaad wel leuk om die eigenschap te zien!
Ik was al aan het zoeken of ik misschien iets miste of over het hoofd zag.
Inderdaad wel leuk om die eigenschap te zien!
Re: y=f(x,h,R,alpha)
Geplaatst: wo 12 feb 2020, 18:25