[Column] De schoonheid van wiskunde

[Kappetijn]

In mijn columns heb ik al eens eerder mijn bewondering uitgesproken over de wijze waarop de Amerikaanse natuur- en wiskundige Brian Greene enthousiast en inspirerend over wetenschap schrijft en spreekt. Zo was ik twee keer aanwezig bij een presentatie van hem in Amsterdam en heb ik genoten van zijn boeken The Elegant Universe en The Fabric of the Cosmos waarover ook een DVD is gemaakt.

Onlangs is Greene zijn nieuwe boek Until the End of Time verschenen. Het is weer smullen. Hij doet een goede poging ons te laten nadenken over wat de fundamentele wetenschap ons kan vertellen over de wereld en ons leven. Met de titel van het boek doelt hij op het onvermijdelijke einde van het universum. Er zijn enkele opties, maar allemaal hebben ze dezelfde uitkomst. Het houdt een keer op. Eens zullen tijd en ruimte ophouden te bestaan. Dat is het slechte nieuws. Het goede nieuws is dat wij mensen hier nu zijn. Dat is een onvoorstelbaar, gegeven het feit dat er geen plan is. Toch wandelen wij over de aarde als levende wezens met bewustzijn, dromen en idealen. Wezens die van kunst houden, empathie vertonen en het universum stapje voor stapje doorgronden. Het denken van Greene over natuur, cultuur en de rol van de mensheid is stevig verankerd in de zekerheid dat evolutie en entropie (twee danspartners) alles bepalend zijn en dat de natuurwetten kunnen worden beschreven in de taal van de wiskunde.

Naar aanleiding van het uitkomen van zijn boek, werd Greene verschillende malen geïnterviewd. Het interview met wetenschapsjournaliste Faith Salie leverde een boeiend gesprek op waarin Greene bekent dat hij soms geëmotioneerd kan raken als hij zich realiseert dat mooie en eenvoudige wiskundige formules de werking van het universum beschrijven. Hij vertelt dat esthetische oordelen de wetenschappelijke discussie weliswaar niet beslechten, maar dat toch enkele beslissingen van theoretisch natuurkundigen gebaseerd waren op een gevoel van esthetiek, een gevoel dat theorieën een zekere elegantie en schoonheid bezitten. Het zoeken naar schoonheid in wiskundige formuleringen van natuurkundige verschijnselen is regelmatig een sterke gids gebleken voor het verkrijgen van inzicht, aldus Greene.

In zijn verwondering over de schoonheid van de wiskunde staat hij niet alleen. Greene vindt daarin medestanders zoals de Nobelprijswinnaars Albert Einstein (1921), Werner Heisenberg (1932), Paul Dirac (1933), Steven Weinberg (1979) en onze eigen Gerard ’t Hooft (1999). De laatste stelt dat als wij nieuwe theorieën mooi en eenvoudig vinden, wij geloven dat die theorieën een grotere kans op succes hebben. Al is die veronderstelde esthetiek geen garantie voor succes.

Iemand die zich al een tijdje in het publieke debat nogal opwindt over de vooronderstelling dat wiskundige formules die de natuur beschrijven mooi moeten zijn, is de Duitse natuurkundige Sabine Hossenfelder. Over haar boek Lost in Math: How Beauty Leads Physics Astray schreef ik in 2018 de column Sabine Hossenfelder, de Circe van de natuurkunde. Volgens haar leidt de neiging in de theoretische natuurkunde om de werkelijkheid in mooie wiskundige formules te vangen, tot stagnatie in de ontwikkeling van de kennis van hoe de natuur in elkaar steekt.

Ze verhult niet dat haar weerzin tegen schoonheid als leidende factor, mede is terug te voeren op de uiterst stroperige ontwikkeling van de natuurkunde van de laatste decennia. Na de doorbraken van meer dan honderd jaar geleden van de algemene relativiteitstheorie (Einstein) en kwantummechanica (Bohr) is er eigenlijk weinig opzienbarends gebeurd. In tegendeel. Om hun sommen kloppend te krijgen hebben natuurkundigen en kosmologen hun toevlucht moeten zoeken tot bedachte en onbewezen fenomenen zoals donkere energie en donkere materie. De unificatie van alle krachten en deeltjes lijkt nog steeds ver weg. De ontwikkeling van ideeën over kwantumgravitatie, multiversa, snaartheorie, supersymmetrie, etc. komen niet verder dan het niveau van onverifieerbare hypothesen. Een serieus probleem is dat de hypothesen niet met waarnemingen en experimenten kunnen worden getoetst. Dat geeft een ongemakkelijk gevoel. Enkelen gaan zelfs zo ver dat zij het pseudowetenschap noemen. Dat gaat mij te ver.

Hossenfelder lijkt enigszins gefrustreerd als ze in haar boek onder het kopje Where beauty lies schrijft: “De triomfen van de laatste eeuw liggen nog vers in het geheugen van de onderzoekers die nu hun pensioen naderen. Hun aandacht voor schoonheid heeft grote invloed op de volgende generatie, mijn generatie, de onsuccesvolle generatie. Wij werken met de nu geformaliseerde esthetische idealen uit het verleden: symmetrie, unificatie en naturalness (de orde van grootte van natuurkundige constanten mag niet te veel verschillen).” In tegenstelling tot wat de Nobelprijswinnaars vinden, is volgens Hossenfelder schoonheid een verraderlijke gids die natuurkundigen al meerdere malen het bos heeft ingestuurd.

Voor deze somberheid is bij Greene geen plaats. Hij heeft het vaste vertrouwen dat de mensheid in de naaste toekomst de opbouw en kenmerken van het universum verder zal doorgronden. Uiteraard is er geen zekerheid of die kennisvermeerdering opnieuw in mooie wiskundige formuleringen kan worden gegoten die emoties opwekken. In het al genoemde interview met Faith Salie vertelt Greene hoe hij geëmotioneerd raakte door de schoonheid van een wiskundige formule toen hij voor het eerst de relatief eenvoudige vergelijkingen van Einsteins algemene relativiteitstheorie begreep. “To see the deep truth, describing the evolution of the universe.”

Ik herken het emotionele gevoel dat wiskunde kan oproepen. Sta mij toe dat toe te lichten met mijn eigen ervaring. Lang geleden (1976) studeerde ik als toegepast wiskundige af op de Technische Universiteit Delft (TUD) op een vliegtuigbouwkundig onderwerp. Mijn opdracht was uit te rekenen of het voor het verbeteren van het comfort van de passagiers tijdens turbulentie (bumpy ride) de moeite loonde een vliegtuig uit te rusten met een zogenaamde Laser Doppler Snelheidsmeter die twintig meter voor het vliegtuig de luchtsnelheid ten opzichte van het vliegtuig meet. Deze informatie kan in een automatische regelaar (auto pilot) worden gestopt die vervolgens uitrekent hoe de hulpkleppen moeten bewegen om de bewegingen van het vliegtuig te dempen. Dat heet een remousresponsiedempingssysteem.

Als vliegtuig koos ik de inmiddels legendarische Fokker F27 Friendship omdat het Nederlands Lucht- en Ruimtevaartcentrum (NLR) daar al eens eerder in het kader van turbulentie aan had gerekend. Halverwege de tachtiger jaren van de vorige eeuw bestonden er nog geen krachtige digitale computers. Bij het NLR maakte men gebruik van analoge computers die met elektrische stroompjes werken. Omdat de spanning binnen de 10 Volt moeten blijven, werden alle variabelen met een of meer factoren van tien geschaald. Vervolgens gebruikte men de Monte Carlosimulatie methode. Dat wil zeggen dat men met de analoge computer een groot aantal identieke vluchten berekende waarbij de vliegtuigbewegingen werden beïnvloed door willekeurige (stochastische) turbulentie. Vervolgens werden van al die vluchten de waarden van variabelen zoals snelheid, invalshoek en verticale versnelling vergeleken. Daaruit volgden het gemiddelde en de standaarddeviatie, een maat van de afwijkingen van het gemiddelde. Dat was alles bij elkaar een hele klus, met een redelijke kans op het maken van fouten.

De aanpak waarvoor ik op aanraden van mijn begeleiders koos, was totaal, maar dan ook totaal anders. Ik maakte gebruik van de digitale computer en de lineaire systeemtheorie. De computer was de IBM System/360 van het rekencentrum van de TUD. Voor nostalgieliefhebbers: deze ene ‘grote’ digitale computer voor de hele TU-gemeenschap had een geheugen van 256 kB en vier registers van 64-bits voor drijvende kommaberekeningen. Ik stopte de aerodynamische gegevens van de Friendship in een wiskundig model dat aansloot bij de relatief nieuwe theorie zoals die stond beschreven in het boek Linear Optimal Control Systems. Mijn afstudeerhoogleraar Huibert Kwakernaak was een van de auteurs. Na alle vergelijkingen en gegevens keurig met ponskaarten te hebben ingevoerd, werden de resultaten door enkele subroutines voor het oplossen van matrixvergelijkingen berekend.

Toen ik op zekere ochtend bij het rekencentrum voor het eerst een uitdraai zonder foutmeldingen bij mijn ponskaartenbakje aantrof, was ik uiterst gespannen. Mijn uitkomsten moesten ergens in de buurt liggen van die van het NLR. Met klamme handjes legde ik mijn cijfers naast die van het NLR en … die waren exact hetzelfde, tot de fameuze vier cijfers achter de komma. Ik werd overspoeld door gevoelens variërend van blijdschap, verbazing, ongeloof tot ontzag. Plotseling was ik mij zeer bewust van de exactheid en de schoonheid van de wiskunde. Dat moment zal ik nooit meer vergeten.

Ondanks dat uit mijn berekening bleek dat door het toepassen een systeem van de Laser Doppler Snelheidsmeter en een speciale auto pilot het comfort aanzienlijk kan worden verbeterd en de passagiers dus minder vaak naar de kotszakken hoeven te grijpen, is het naar mijn weten nooit toegepast.

Nog even terug naar de discussie over de schoonheid van de wiskunde. Het is wonderbaarlijk hoe de mensheid, steeds beter in staat is de wereld om ons heen te beschrijven met wiskundige formuleringen. De universele toepasbaarheid van de wiskunde roept vaak de vraag op of de wiskunde een door mensen bedachte constructie is of dat de wiskunde er altijd was en er altijd zal zijn. In mijn column De wereld als formule heb daar al eens iets over geschreven. Of wiskunde door mensen wordt ontwikkeld of ontdekt, in beide gevallen hebben wij genieën als Newton, Einstein en Bohr nodig om zo nu en dan weer een tipje van de grote sluier op te lichten. De ontwikkeling van de Siamese tweeling wis- en natuurkunde is vaak een bumpy ride. Helaas kunnen wij het niet makkelijker maken, maar gelukkig wel leuker. Daarbij zijn enthousiaste uitleggers als Brian Greene onmisbaar.

[Maarten1234]

Tuurlijk is het pseudowetenschap. De gewone man of vrouw die een eigen idee heeft wordt al rap weggezet als pseudowetenschapper hier op dit forum, maar de wetenschappers zelf die onverifieerbare claims poneren, mogen absoluut geen pseudowetenschappers of crackpots worden genoemd. Twee maten, twee gewichten! Uit reputatiebehoud.

[Xilvo]

Tuurlijk is het pseudowetenschap. De gewone man of vrouw die een eigen idee heeft wordt al rap weggezet als pseudowetenschapper hier op dit forum, maar de wetenschappers zelf die onverifieerbare claims poneren, mogen absoluut geen pseudowetenschappers of crackpots worden genoemd. Twee maten, twee gewichten! Uit reputatiebehoud.

Je kunt terecht kritiek hebben op speculaties in de wetenschap die niet te verifieren zijn.
Vergeet niet dat die speculaties op zijn minst niet strijdig mogen zijn met de waarnemingen anders gaan ze sowieso onmiddellijk de prullenbak in.

De "gewone man of vrouw" vergeet nogal eens dat zijn of haar idee minstens even goed met de waarnemingen overeen moeten stemmen als de al bestaande theorie.
Dat is niet mogelijk zonder een goede wiskundige basis van dat ideetje.

[HansH]

De "gewone man of vrouw" vergeet nogal eens dat zijn of haar idee minstens even goed met de waarnemingen overeen moeten stemmen als de al bestaande theorie.
Dat is niet mogelijk zonder een goede wiskundige basis van dat ideetje.

Het punt is vaak dat De "gewone man of vrouw" vaak per definitie al niet serieus genomen wordt terwijl de praktijk uitwijst dat die gewone man/vrouw vaak best baanbrekende en verfrissende ideen kan hebben maar het strand op de bewijslast en de wiskunde. En de wetenschapper reageert dan vaak vanuit het 'not invented here syndrome' wat dan weetr tot vbeel frustratie leidt bij degene die met de ideen kwam.

Dat zelfde zie je ook op het werk maar al te vaak gebeuren op alle nivo's. en dat is erg jammer want daarvoor worden veel goede ideen in deprullebak gegooit. en je hebt zelfs kans dat de voorop lopende positie van een bedrijf in gevaar komt omdat je de kans om een goed idee op te pakken maar 1 keer krijgt. Als als een ander bedrijf het wel oppakt gaat die er met de voordelen vandoor. (het was imemrs een goed ideem maar men besefte het te laat)

[Xilvo]

Het punt is vaak dat De "gewone man of vrouw" vaak per definitie al niet serieus genomen wordt terwijl de praktijk uitwijst dat die gewone man/vrouw vaak best baanbrekende en verfrissende ideen kan hebben maar het strand op de bewijslast en de wiskunde. En de wetenschapper reageert dan vaak vanuit het 'not invented here syndrome' wat dan weetr tot vbeel frustratie leidt bij degene die met de ideen kwam.

Die discussie hebben we eerder gehad en het heeft weinig zin die te herhalen.
Feit is dat, wil je een bestaande theorie verbeteren of vervangen, je die bestaande theorie goed moet kennen en beheersen. Anders verkondig je ideeën die hetzij triviaal hetzij al lang weerlegd zijn.
Ik ken geen enkel geval in de moderne exacte wetenschap waar een buitenstaander met een zinvol idee is gekomen waar de professionals nog niet aan gedacht hadden.

[HansH]

Ik ken geen enkel geval in de moderene exacte wetenschap waar een buitenstaander met een zinvol idee is gekomen waar de professionals nog niet aan gedacht hadden.

misschien komt dat omdat die exacte wetenschappers te eigenwijs waren om er naar te luisteren, dus bij voorbaat al te negeren? of ze gingen er zelf met de eer vandoor getriggered door een 'niet wetenschapper' dusa zonder dien's naam dan te noemen. ik zie het in onze tak van wetenschap (elektrotechniek) immers wel geregeld voorkomen.

[HansH]

https://www.quora.com/What-are-some-of- ... -laypeople

[Xilvo]

misschien komt dat omdat die exacte wetenschappers te eigenwijs waren om er naar te luisteren, dus bij voorbaat al te negeren? of ze gingen er zelf met de eer vandoor getriggered door een 'niet wetenschapper' dusa zonder dien's naam dan te noemen.

Met veronderstellingen kan ik weinig.

ik zie het in onze tak van wetenschap (elektrotechniek) immers wel geregeld voorkomen.

Als je met een concreet voorbeeld kunt komen waar een nieuw wetenschappelijk (dus niet technologisch) idee van een buitenstaander tot geaccepteerde nieuwe wetenschappelijke inzichten heeft geleid, dan ben ik benieuwd. Anders is het wat mij betreft einde discussie want herhaling van zetten.

[wnvl1]

Bij het ontwikkelen van een elektronische schakelingen kan een buitenstaander hier en daar wel eens een goed idee hebben. Dat is heel toegankelijk. Als je mij een schema laat zien van een geschakelde voeding, ga ik die vermoedelijk snel begrijpen en het zou misschien wel eens kunnen dat ik voor de ene of de andere toepassing van een geschakelde voeding een goed idee heb.

Fundamentele natuurkunde is veel moeilijker dan het ontwikkelen van sommige elektronische schakelingen. De grootste genieën denken na over dezelfde problemen. Daar ga ik als amateur nooit een zinnige bijdrage kunnen leveren.

[HansH]

[
Als je met een concreet voorbeeld kunt komen waar een nieuw wetenschappelijk (dus niet technologisch) idee van een buitenstaander tot geaccepteerde nieuwe wetenschappelijke inzichten heeft geleid, dan ben ik benieuwd. Anders is het wat mij betreft einde discussie want herhaling van zetten.

zie bv regel 1 van de link die ik had gegeven":'Faraday, without whom we wouldn't have any modern device, which all depend on the electricity and magnetism that he discovered, was only a bookbinders’ apprentice and later, as laboratory assistant/technician to the then head of the Royal Society, Humphrey Davy.'

[HansH]

Fundamentele natuurkunde is veel moeilijker dan het ontwikkelen van sommige elektronische schakelingen. De grootste genieën denken na over dezelfde problemen. Daar ga ik als amateur nooit een zinnige bijdrage kunnen leveren.

Er is denk ik een verschil tussen 'moeilijk' en 'veel achtergrond kennis vergen'
De reden waarom buitenstaanders vaak geen goede input kunnen leveren is niet omdat ze niet slim genoeg zijn, maar omdat ze achtergrondkennis missen. moderne natuurkunde bouwt immers voort op alle stapjes die in het verleden daar gezet zijn. en je moet dus overzicht hebben over veel van die stappen om er daarna zelf een te kunnen zetten.
en het vervelende is dat menig natuurkundige weinig kijk heeft op het optimaal uitleggen van de materie aan mensen die het nog niet beheersen. Dat heb ik bv hier op het forum kunnen ervaren mbt de ART.

[Xilvo]

zie bv regel 1 van de link die ik had gegeven":'Faraday, without whom we wouldn't have any modern device, which all depend on the electricity and magnetism that he discovered, was only a bookbinders’ apprentice and later, as laboratory assistant/technician to the then head of the Royal Society, Humphrey Davy.'

Dat Faraday tot z'n twintigste boekbindersleerling was is alleen relevant omdat hij zo in contact kwam met boeken over wetenschap. Verder is het net zo nietszeggend als wanneer een Nobelprijswinnaar tijdens z'n schooljaren een krantenwijkje had.
Vanaf z'n twintigste bezocht hij colleges door de Royal Institution en hij had later volop contacten in de toenmalige wetenschappelijke wereld. Een buitenstaander was hij zeker niet.

Verder, elektriciteit en magnetisme waren relatief nieuwe onderwerpen voor de wetenschap, er was weinig bekend en met relatief eenvoudige middelen en weinig formele kennis viel er daarom veel te ontdekken. Er was wel een Maxwell voor nodig om zijn ontdekkingen op elektromagnetisch gebied wiskundig te formuleren.

[Xilvo]

en het vervelende is dat menig natuurkundige weinig kijk heeft op het optimaal uitleggen van de materie aan mensen die het nog niet beheersen. Dat heb ik bv hier op het forum kunnen ervaren mbt de ART.

Veel natuurkundigen kunnen hun kennis gelukkig uitstekend overdragen, is mijn ervaring.
Maar je kunt van niemand verwachten dat hij even de ART in een berichtje op dit forum uitlegt. Dan onderschat je de omvang en complexiteit van dit onderwerp ernstig.
Wil je de ART echt begrijpen, koop dan een paar goede boeken en wees bereid er veel tijd en moeite in te steken.

[HansH]

Dat Faraday tot z'n twintigste boekbindersleerling was is alleen relevant omdat hij zo in contact kwam met boeken over wetenschap. Verder is het net zo nietszeggend als wanneer een Nobelprijswinnaar tijdens z'n schooljaren een krantenwijkje had.
Vanaf z'n twintigste bezocht hij colleges door de Royal Institution en hij had later volop contacten in de toenmalige wetenschappelijke wereld. Een buitenstaander was hij zeker niet.

Het gaat erom of hij al een gerenommeerd wetenschapper was toen hij zijn onderzoek deed waar in dit verband over gepraat wordt. en ja natuurlijk is het in de beginfase makkelijker om nieuwe zaken aan te dragen omdat je daarvoor minder achtergrond kennis nodig hebt omdat die er toen nog niret was.

[Xilvo]

Het gaat erom of hij al een gerenommeerd wetenschapper was toen hij zijn onderzoek deed waar in dit verband over gepraat wordt.

Wetenschappers worden pas gerenommeerd door het onderzoek dat ze doen. Einstein was een eenvoudige en onbekende beambte op een patentbureau toen hij z'n drie baanbrekende artikelen publiceerde.

en ja natuurlijk is het in de beginfase makkelijker om nieuwe zaken aan te dragen omdat je daarvoor minder achtergrond kennis nodig hebt omdat die er toen nog niret was.

Dat is juist het punt. Dat waren de pionierdagen van de moderne wetenschap en elektriciteit en magnetisme waren nagenoeg onontgonnen terrein.
Wat tweehonderd jaar geleden nog kon is nu onmogelijk. Wil je nu met iets nieuws komen dan moet je heel goed op de hoogte zijn van de huidige, zeer omvangrijke, kennis op dat gebied.