1 van 1
omtrek
Geplaatst: wo 05 aug 2020, 19:41
door ukster
Minimale omtrek ΔABC?
![Omtrek](./download/file.php?id=32214)
- Omtrek 2835 keer bekeken
ik vind: a
2=b(b+c) , a=2bcosβ en 0<β<π/6
Mag ervan worden uitgegaan dat ggd(a,b,c)=1?
Re: omtrek
Geplaatst: do 06 aug 2020, 09:32
door RedCat
Ja.
Als ggd(a,b,c) = d > 1, dan kan je de lengte van elke zijde door d delen, waardoor ook de omtrek een factor d kleiner wordt.
De hoeken blijven bij deze deling ongewijzigd.
Re: omtrek
Geplaatst: do 06 aug 2020, 15:08
door tempelier
Ik heb een doodlopend spoor bewandeld.
Ik heb c=1 genomen.
Een geëist dat b en c echte positieve breuken zijn.
Trekt men de hoogtelijn dan volgt uit de driehoeksongelijkheid dat hoe kleiner de hoogtelijn hoe kleiner de omtrek.
Hiervoor is nodig dat de sinussen van de hoeken ook rationeel zijn.
Het lukte me echter niet hier een kleinste waarde voor te vinden.
Re: omtrek
Geplaatst: do 06 aug 2020, 15:26
door ukster
Voorwaarde:
![pos integers](./download/file.php?id=32215)
- pos integers 2657 keer bekeken
Dus positieve integers
Re: omtrek
Geplaatst: do 06 aug 2020, 16:01
door tempelier
Dat weet ik.
Maar ik wilde daarna de zaak opblazen met een factor om daar aan te voldoen.
Re: omtrek
Geplaatst: do 06 aug 2020, 16:34
door ukster
Aha..
Voortbouwend op a
2=b(b+c) , a=2bcosβ , 0<β<π/6 en ggd(a,b,c,)=1 kan gesteld worden dat ook ggd(b,c)=1 omdat een gemeenschappelijke factor in b en c ook de gemeenschappelijke factor is van a.
Het vierkant a
2 wordt uitgedrukt als een product van twee priem integers b en c
a
2=b(b+c), derhalve moeten b en (b+c) ook vierkanten zijn.
Twee integers m en n met ggd(m,n)=1 hierop toegepast:
![vierkant](./download/file.php?id=32216)
- vierkant 2636 keer bekeken
hieruit volgt: b=m
2, b+c=n
2, a=mn
De minimale omtrek van de driehoek kan nu bepaald worden.
Re: omtrek
Geplaatst: do 06 aug 2020, 16:59
door ukster
Uiteraard is n>m
![vierkant](./download/file.php?id=32217)
- vierkant 2623 keer bekeken
Re: omtrek
Geplaatst: do 06 aug 2020, 21:17
door ukster
![integers](./download/file.php?id=32224)
- integers 2569 keer bekeken
De (kleinste) integer waarde van (m,n) die hieraan voldoet is: (4,7)
Hieruit volgt: b=16 a=28 c=33
Minimale omtrek: a+b+c = 77
Re: omtrek
Geplaatst: do 06 aug 2020, 21:59
door RedCat
Mooie uitwerking!
Re: omtrek
Geplaatst: vr 07 aug 2020, 17:40
door ukster
Gegeven de twee punten A(−2,0) en B(1,5)
Wat zijn de coördinaten van punt P op de lijn x-2y=6 zodat de omtrek van driehoek ABP minimaal is.
P(26/23,-56/23)??
Re: omtrek
Geplaatst: vr 07 aug 2020, 22:25
door RedCat
Kom ik ook op uit: stel
\(P = (2\lambda + 6, \lambda)\)
en minimaliseer daarmee (|AP| + |BP|) door de afgeleide hiervan naar lambda nul te stellen.
Dit levert
\(805\lambda^2+6560\lambda+11200 = 0\)
\(\Rightarrow \lambda = \frac{-56}{23}\)
(de tweede oplossing vervalt: dat is een valse oplossing door kwadrateren onderweg).
Re: omtrek
Geplaatst: vr 07 aug 2020, 23:02
door ukster
Mooi..
![minimale omtrek](./download/file.php?id=32233)
- minimale omtrek 2384 keer bekeken
Re: omtrek
Geplaatst: za 08 aug 2020, 09:29
door RedCat
Meetkundige oplossing:
A = (-2, 0)
B = (1, 5)
l: y = (1/2)*x - 3
definieer A' = spiegelbeeld van A in lijn l:
- loodlijn op l door A: m: y = -2x - 4
- beeldpunt van A: A' = (6/5, -32/5)
noem k = de lijn door A' en B:
k: y = -57x + 62
Dan is P het snijpunt van lijnen l en k:
P = (26/23, -56/23)
Re: omtrek
Geplaatst: za 08 aug 2020, 20:13
door ukster
Een (nogal bewerkelijke) meetkundige oplossing op basis van de evenwijdige lijnen k: en l:
lijn m: en de normaallijn n:
attachment=0]meetkundige oplossing minimale omtrek.png[/attachment]