\(x = r \sin(\theta) \cos(\phi)\)
\(y = r \sin(\theta) \sin(\phi)\)
\(z = r \cos(\theta)\)
Via product-regel:
\(dx = dr \sin(\theta) \cos(\phi) + r \cos(\theta) d\theta \cos(\phi) - r \sin(\theta) \sin(\phi) d\phi\)
\(dy = dr \sin(\theta) \sin(\phi) + r \cos(\theta) d\theta \sin(\phi) + r \sin(\theta) \cos(\phi) d\phi\)
\(dz = dr \cos(\theta) - r \sin(\theta) d\theta\)
Kwadrateer de termen:
\(dx^2 = \sin^2(\theta) \cos^2(\phi) dr^2 + r^2 \cos^2(\theta) \cos^2(\phi) d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \sin^2(\phi) d\phi^2\)
\( + 2 r \sin(\theta) \cos(\theta) \cos^2(\phi) dr d\theta - 2 r \sin^2(\theta) \sin(\phi) \cos(\phi) dr d\phi - 2 r^2 \sin(\theta)\cos(\theta) \sin(\phi) \cos(\phi) d\theta d\phi\)
\(dy^2 = \sin^2(\theta) \sin^2(\phi) dr^2 + r^2 \cos^2(\theta) \sin^2(\phi) d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \cos^2(\phi) d\phi^2\)
\(+ 2 r \sin(\theta) \cos(\theta) \sin^2(\phi) dr d\theta + 2 r \sin^2(\theta) \sin(\phi) \cos(\phi) dr d\phi + 2 r^2 \sin(\theta) \cos(\theta) \sin(\phi) \cos(\phi) d\theta d\phi\)
\(dz^2 = \cos^2(\theta) dr^2 + r^2 \sin^2(\theta) d\theta^2 - 2 r \sin(\theta) \cos(\theta) dr d\theta\)
Als je deze gekwadrateerde termen optelt, zie je dat een hoop termen al meteen wegvallen. Met wat gonio wordt het dan:
\(dx^2 + dy^2 + dz^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) d\phi^2\)
