1 van 1
Bewijs van formule (2)
Geplaatst: ma 31 aug 2020, 17:58
door Professor Puntje
Deze topic is afgesplitst van
deze topic. In deze topic zal ik proberen de onderstaande formule (2) te bewijzen:
- formule2 3362 keer bekeken
Bron:
https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: ma 31 aug 2020, 18:07
door Professor Puntje
We moeten dus vanuit de Schwarzschild metriek de formule (2) in het artikel afleiden. De Schwarzschild metriek kan zo worden geschreven:
- formule 3356 keer bekeken
Bron:
https://hepweb.ucsd.edu/ph110b/110b_notes/node75.html
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: ma 31 aug 2020, 18:09
door Professor Puntje
Voor r
s/r << 1 kun je bij benadering met de cartesiaanse coördinaten x, y en z werken. Dat maakt het mogelijk in de schwarzschildmetriek x, y en z te introduceren. Zie hier voor de transformatieformules:
https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical ... oordinates
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: ma 31 aug 2020, 18:11
door Professor Puntje
Ons uitgangspunt is:
\(\)
\( - c^ 2 (\mathrm{d}\tau)^2 = -(1 - \frac{r_s}{r}) c^2 (\mathrm{d} t)^2 + \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{r_s}{r}} + r^2 ((\mathrm{d}\theta)^2 + \sin^2(\theta) (\mathrm{d} \varphi)^2 ) \)
Het artikel gaat uit van eenheden waarin c = G = 1. Dus dan krijgen we:
\( r_s = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{m}}{c^2} = 2 \mathrm{m} \). Substitutie geeft:
\(\)
\( - (\mathrm{d}\tau)^2 = -(1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}) (\mathrm{d} t)^2 + \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} + r^2 ((\mathrm{d}\theta)^2 + \sin^2(\theta) (\mathrm{d} \varphi)^2 ) \)
\(\)
\( (\mathrm{d}\tau)^2 = (1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}) (\mathrm{d} t)^2 - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - r^2 ((\mathrm{d}\theta)^2 + \sin^2(\theta) (\mathrm{d} \varphi)^2 ) \)
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: ma 31 aug 2020, 18:49
door Professor Puntje
Voor het gemak schrijven we:
\(\)
\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - r^2 ((\mathrm{d}\theta)^2 + \sin^2(\theta) (\mathrm{d} \varphi)^2 ) \)
\(\)
Zodat:
\(\)
\( (\mathrm{d}\tau)^2 = (1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}) (\mathrm{d} t)^2 + Q \)
\(\)
Dus:
\(\)
\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - r^2 ((\mathrm{d}\theta)^2 + \sin^2(\theta) (\mathrm{d} \varphi)^2 ) \)
\(\)
\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} + (\mathrm{d}r)^2 - \{(\mathrm{d}r)^2 + r^2 (\mathrm{d}\theta)^2 + r^2 \sin^2(\theta) (\mathrm{d} \varphi)^2 \} \)
\(\)
Zie voor deze stap het topic:
viewtopic.php?f=4&t=210967
\(\)
\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} + (\mathrm{d}r)^2 - \{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2 \} \)
\(\)
\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} + \frac{(\mathrm{d}r)^2 ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} )}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - \{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2 \} \)
\(\)
\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2 ( \frac{2 \mathrm{m}}{r} )}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - \{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2 \} \)
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: ma 31 aug 2020, 21:35
door Professor Puntje
Schrijf nu:
\(\)
\( P = - \frac{(\mathrm{d}r)^2 \frac{2 \mathrm{m}}{r}}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} \)
\(\)
Dan krijgen we:
\(\)
\( P = - \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} (\mathrm{d}r)^2 \)
\(\)
\( P = - \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} \left (\mathrm{d}\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \right )^2 \)
\(\)
\( P = - \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} \left (\frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2} \mathrm{d} (x^2 + y^2 + z^2) \right )^2 \)
\(\)
\( P = - \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} \left (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r} \cdot (2x\mathrm{d}x + 2y\mathrm{d}y + 2z\mathrm{d}z) \right )^2 \)
\(\)
\( P = - \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} \left ( \frac{1}{r} \cdot (x\mathrm{d}x + y\mathrm{d}y + z\mathrm{d}z) \right )^2 \)
\(\)
\( P = - \frac{1}{r^2} \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} (x\mathrm{d}x + y\mathrm{d}y + z\mathrm{d}z)^2 \)
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: ma 31 aug 2020, 21:53
door Professor Puntje
Professor Puntje schreef: ↑ma 31 aug 2020, 18:49
\( (\mathrm{d}\tau)^2 = (1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}) (\mathrm{d} t)^2 + Q \)
Professor Puntje schreef: ↑ma 31 aug 2020, 18:49
\( Q = - \frac{(\mathrm{d}r)^2 ( \frac{2 \mathrm{m}}{r} )}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - \{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 + (\mathrm{d}z)^2 \} \)
Professor Puntje schreef: ↑ma 31 aug 2020, 21:35
\( P = - \frac{(\mathrm{d}r)^2 \frac{2 \mathrm{m}}{r}}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} \)
Professor Puntje schreef: ↑ma 31 aug 2020, 21:35
\( P = - \frac{1}{r^2} \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m}} (x\mathrm{d}x + y\mathrm{d}y + z\mathrm{d}z)^2 \)
Daarmee is formule (2) uit de openingspost bewezen.
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: ma 31 aug 2020, 22:11
door flappelap
Die transformatie kun je altijd uitvoeren, alleen hebben x,y,z niet de gebruikelijke betekenis. Net zoals r niet de fysieke lengte geeft tussen twee gelijktijdige gebeurtenissen.
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: ma 31 aug 2020, 22:17
door Professor Puntje
Dat klopt maar om er voor de lichtbuiging iets aan te hebben is het wel handig als x, y en z voor de lichtbaan bij benadering overeenstemmen met de gebruikelijke cartesiaanse coördinaten.
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: di 01 sep 2020, 07:43
door flappelap
Mwah, hoeft niet, zolang de hoek uiteindelijk toch de gemeten hoek is op 'oneindig'?
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: di 01 sep 2020, 10:15
door HansH
flappelap schreef: ↑di 01 sep 2020, 07:43
Mwah, hoeft niet, zolang de hoek uiteindelijk toch de gemeten hoek is op 'oneindig'?
Het punt is dan toch dat je voor de lichtafbuiging ananamens hebt gedaan mbt de x richting. Of bedoel je dat je een nog algemenere formule kunt bedenken die ook voor kromme coordinaten gebruikt kan worden.
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: di 01 sep 2020, 10:35
door Professor Puntje
flappelap schreef: ↑di 01 sep 2020, 07:43
Mwah, hoeft niet, zolang de hoek uiteindelijk toch de gemeten hoek is op 'oneindig'?
Laat ik het dan zo zeggen dat het voor gewone stervelingen (zoals ikzelf) wel zo handig is wanneer x, y en z voor de lichtbaan
bij benadering hun gebruikelijke huis-tuin-en-keuken betekenis hebben. Zo is het voor ons al ingewikkeld genoeg...
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: di 01 sep 2020, 12:01
door flappelap
Professor Puntje schreef: ↑di 01 sep 2020, 10:35
flappelap schreef: ↑di 01 sep 2020, 07:43
Mwah, hoeft niet, zolang de hoek uiteindelijk toch de gemeten hoek is op 'oneindig'?
Laat ik het dan zo zeggen dat het voor gewone stervelingen (zoals ikzelf) wel zo handig is wanneer x, y en z voor de lichtbaan
bij benadering hun gebruikelijke huis-tuin-en-keuken betekenis hebben. Zo is het voor ons al ingewikkeld genoeg...
Nou ja, ook als het niet zo is kun je er simpel mee rekenen.
Als jij bijvoorbeeld in een Schwarzschild achtergrond zoals de aarde een lat legt tussen r = 6.371.000 m (het aardoppervlak) en r = 6.371.001 meter, dan is de lengte van de lat niet simpelweg 6.371.001 - 6.371.000 = 1 m. De lat wordt immers ingekort door de gekromde meetkunde, en krijgt zo lengte
\( \int_{6371000}^{6371001} (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} dr \)
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: di 01 sep 2020, 12:07
door Professor Puntje
Deze zaken liggen op het randje van wat ik (nog net) begrijp. Daarom houd ik het liefst zo simpel mogelijk.
Re: Bewijs van formule (2)
Geplaatst: di 01 sep 2020, 13:02
door flappelap
Zwakke velden dus
