sciencetalk

Mathematische slinger met lengte L.
De staaf is van geleidend materiaal, heeft een verwaarloosbare massa en beweegt in een statisch magnetisch veld met inductie B. Er is geen wrijving en de condensator is ideaal. Weerstand R en inductantie van het circuit worden verwaarloosd. De oscillatieperiode van de slinger is: Geen flauw idee hoe men op deze formule is gekomen!
Iemand wel?

Bij de echte mathematische slinger is de breuk tussen de haken nul.
Het circuit is een RC-kring met een eigenfrequentie waarbij demping optreedt.
Daardoor wordt de totale slingertijd groter.
Zie https://nl.wikipedia.org/wiki/RC-oscillator.

Hallo,

Het betreft een 2e orde process. Ik heb niet veel routine in het oplossen maar het is ongeveer zo:

Pendulum met demper:

$$\frac{L}{g}\ddot{\Theta}+\frac{cL}{mg}\dot{\Theta}+\sin(\Theta)=0$$
https://services.math.duke.edu/educatio ... pend1.html

Algemene oplossing tweede orde systeem:
https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_oscillator

$$\frac{1}{\omega_{n}^{2}}y''+\frac{2\zeta}{\omega_{n}}y+y=KF(t)'$$

Er zijn vier verschillende oplossingen.

1) Undamped: Een simpele harmonische oscilator (pendulum zonder weerstand)
2) Underdamped: Bereikt uiteindelijk evenwicht positie via oscilatie.
3) Overdamped: Geen oscilatie en bereikt evenwicht positie.
4) Critisch: het systeem oscileerd.

In jouw voorbeeld gaat het waarschijnlijk om optie 2). Uit het document link hierboven vind men voor de oscilatie frequentie voor een underdampt systeem:

$$\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}$$

Dan vind ik voor (invulfouten kunnen aanwezig zijn!):

$$\omega_{n}=\sqrt{\frac{g}{L}}$$
$$\zeta=\frac{cL}{2mg}\sqrt{\frac{g}{L}}$$
$$\omega_{d}=\sqrt{\frac{g}{L}\left(1-\frac{c^2L^2}{4m^{2}g^{2}}\right)}$$

Het lijkt een beetje op de oplossing van de opgave. Ik weet niet waar ik de fout maak.

In de formulie welke jij geeft zou het volgende dimensieloos moeten zijn:

$$\frac{CB^{2}L^{2}}{4m}\rightarrow\frac{\left[ \frac{As}{V} \right] \left[ \frac{N^{2}}{A^{2}m^{2}} \right] }{\left[ kg \right]}$$

Klopt dat wel? Excuses per ongelijk op versturen geklikt. Heb niet veel tijd voor edit.

Ik zie net dat ik een fout heb gemaakt bij: \(\omega_{d}\). Ik heb wat foutjes gemaakt.

$$\omega_{d}=\sqrt{\frac{g}{L}\left(1-\frac{c^2L}{4m^{2}g}\right)}$$

Ik heb de dimensie van de opgave welke jij stuurt nog niet gecontrolleerd. Wellicht zitten hier ook type foutjes door mij:

$$\frac{CB^{2}L^{2}}{4m}\rightarrow\frac{\left[ \frac{As}{V} \right] \left[ \frac{N^{2}}{A^{2}m^{2}} \right] \left[ m^{2}\right] }{\left[ kg \right]}$$

$$\frac{CB^{2}L^{2}}{4m}\rightarrow\frac{\left[ \frac{A^{2}s^{4}}{kg \cdot m^{2}} \right] \left[ \frac{kg^{2}m^2}{s^4A^{2}m^{2}} \right] \left[ m^{2}\right] }{\left[ kg \right]}$$

Het draait mij nu een beetje. Wederom op verstuur geklikt ipv voorbeeld. Zie mijn oefening maar als een richting voor de oplossing. Ik heb veel te weining routine en oefening meer.

Dank voor de info.

Ik kan me voorstellen dat het systeem het effect van de zwaartekrachtversnelling g op de slinger beïnvloed.
In dit voorbeeldje geeft Maple (met simplify units) aan dat de term CB²L²/m inderdaad dimensieloos is.

Net herinner ik mij. Indien men de algemene oplossing (algemeen 2e orde) gebruikt kan zeta iets anders uitzien afhankelijk de demping parallel of in serie is. Ik denk dat ik de verkeerde heb gebruikt in het voorbeeld.

de Lorentzkracht op de slinger F=BIL is altijd tegengesteld aan de slingerbeweging en vertraagt dus de slingerbeweging.
Condensatorenergie: E=1/2 CU² (wordt telkens omgepoold (op - en ontladen via de slinger)
die 4m komt uit die DV!

ukster schreef: ↑di 08 sep 2020, 14:41 Geen flauw idee hoe men op deze formule is gekomen!
Iemand wel?

Ik denk door bij de basis te beginnen. Er zijn geen dissipatieve elementen dus er moet energie omgezet worden van de ene vorm in de andere.
-De ene vorm is energie in de condensator W=1/2 x C V^2
-De andere vorm is energie opgeslagen als potentiele zwaartekrachtsenergie in de massa W=mgh en bewegingsenergie in de massa W=1/2 m x v^2 en er is een omzetting van snelheid v in spanning over de draad. E=dphi/dt en phi-oppervlak wat de draad aflegt bij beweging met snelheid v in het Bveld.

en dan heb je nog een krachtenevenwicht mbt F=B x I x L en I=C x dV/dt
en die formules op de juiste manier aan elkaar koppelen denk ik, maar laat iemand anders die stap maar eens proberen.

o ja en ook nog F=mg*sin(alpha) met alpha de hoek tussen L en de vertikale as

Ik wil ook graag weten hoe het systeem werkt. Het is in ieder geval een tweede orde differentiaal vergelijking. Zoals ik al eerder poste. Het zou de volgende vorm opleveren:

$$\frac{L}{g}\ddot{\Theta}+\frac{cL}{mg}\dot{\Theta}+\sin(\Theta)=0$$
$$\frac{1}{\omega_{n}^{2}}y''+\frac{2\zeta}{\omega_{n}}y+y=0$$

Hierbij kunnen: \(\omega_{n}\) en \(\zeta\) bepaald worden. De kleine \(c\) in de vergelijking is de demping constante en is afhankelijk van het electrische circuit.

De oscilatie frequentie bij een underdamped systeem kan bepaald worden met:

$$\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}$$

Zie:
https://services.math.duke.edu/educatio ... pend1.html
https://ocw.mit.edu/courses/mechanical- ... lment2.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Damping_ratio#Definition

Zelf ben ik geinteresseerd in de formule van de demping in het magnetisch veld. Ik heb geen idee hoe de demping factor te bepalen. Vragen voor mij:

• Waar grijpt de kracht aan in de draad en is dit van belang?

• Hoe zet je F=BIL en i=CdU/dt om in een vergelijking over afstand/hoek verplaatsing?

• De tekening geeft aan dat de slinger een grote verplaatsing heeft (dan kan met niet zeggen dat: \(\sin(\Theta) \sim \Theta\)). Hoe hiermee omgaan?

Erg onduidelijk verhaal.

kan dit misschien een bijdrage leveren aan de puzzel in combinatie met de genoemde differentiaalvergelijking van een gedempte slinger? sin(θ)≈θ (voor kleine hoeken inderdaad)

@ ukster: ik denk dat dat wel bruikbaar is. probeer alle relaties die er zijn op te schrijven en te combineren tot 1 vergelijking.
@000vincent000:
waarom denk je dat het systeem gedenpt is? in dat geval: waar wordt energie gedissipeerd?

@HansH
I dacht zodra er een stroom gaat vloeien werkt dit een veld op wat de beweging van de slinger tegenwerkt. Hoe zie jij het systeem dan? Ik bekijk het systeem a.d.h. van de vergelijking en hoe het systeem uitziet. Het lijkt mij typisch een tweede orde systeem zoals: massa-veer-demper.

Inderdaad een goede start Ukster. Knap gedaan.

Er wordt inderdaad nergens vermogen gedissipeerd.
dus een ongedempte slinger.
volgens mij volstaat het nu om de uitdrukking voor g' te bewijzen