ukster schreef: ↑wo 03 mar 2021, 15:05
x=1/4 en x= -3 zijn de oplossing van de vergelijking 3(5-7x)/(2(10x+17))=x
Mooi en logisch, bedankt!
En oeps... ik had je eerste post beter moeten bekijken.
ukster schreef: ↑wo 03 mar 2021, 15:05
Door berekening van enkele reekstermen (tot a
15) ,uitgaande van a
0 en de formule van a
n+1 bespeur ik een convergentietrend naar ¼. ( toegepast in de substitutie b
n = a
n -1/4)
Zoals je ziet convergeren de uiteindelijk gevonden reekstermen (a
n) inderdaad naar ¼ !
Doorrekenend met symbolen:
\(b_n=\frac{(P-SK)b_{n-1}}{Sb_{n-1}+R+SK}; \;\; \text{met} \;\; b_0 = a_0 - K\)
Voor a
0 = K geldt b
0 = 0, waardoor ook de hele rij b
n = 0 wordt.
En omdat a = b + K, is in dit geval de hele rij a
n = K.
Dit geldt dus zowel voor K=1/4 als K=-3.
Omgekeerd kan b
n alleen nul worden als b
n-1 dat ook is, want uit bovenstaande volgt:
\(b_{n-1}=\frac{(R+SK)b_n}{P-SK -Sb_n}\)
Als a
0 ≠ K kom ik uit op:
\(a_n = \frac{1}{ \alpha\left(\frac{R+SK}{P-SK}\right)^n + \frac{S}{P-R-2SK} } + K\)
waarbij
\(\alpha = \frac{1}{a_0-K}-\frac{S}{P-R-2SK}\)
In ons voorbeeld voor K = 1/4 :
\(a_n = \frac{1}{ \frac{16}{13}\cdot \left(\frac{39}{-26}\right)^n + \frac{-4}{13} } + \frac{1}{4}\)
Voor n naar oneindig gaat dit naar 1/4
En voor K = -3 :
\(a_n = \frac{1}{ \frac{-1}{13}\cdot \left(\frac{-26}{39}\right)^n + \frac{4}{13} } -3\)
Voor n naar oneindig gaat ook dit naar 1/4:
\(a_\infty = \frac{1}{ \frac{-1}{13}\cdot 0 + \frac{4}{13} } -3 = \frac{1}{4}\)
Dus voor beide waarden van K (K = 1/4 en K = -3) convergeert a
n naar 1/4
