sciencetalk

Over de som van drie kwadraten:
Heeft de vergelijking (a^2+c^2+f^2) = (b^2+d^2+e^2) oplossingen ?
Mits a,b,c,d,e,f behoren tot de natuurlijke getallen.
En mits a >b en c>d
En mits a niet gelijk aan c en niet gelijk is aan f en c niet gelijk is aan f
En mits b niet gelijk aan d en niet gelijk is aan e en d niet gelijk is aan e

Vele oplossingen.
Triviaal:
Kies natuurlijke getallen a > c > f,
neem b=c, d=f, e=a.

Maar bijvoorbeeld ook:
a=10, c=8, f=5, b=3, d=6, e=12:
100 + 64 + 25 = 9 + 36 + 144 = 189

@Redcat,

Dank U
Geen triviale oplossingen, geen enkel van de getallen a,b,c,d,e,f gelijk aan een ander
Ok, ik heb nog te weinig voorwaarden opgenomen.
...............................
a en b moeten een grootste gemene deler hebben, c en d ook, e en f ook.

Human schreef: ↑do 01 apr 2021, 09:43 Ok, ik heb nog te weinig voorwaarden opgenomen.
...............................
a en b moeten een grootste gemene deler hebben, c en d ook, e en f ook.

Neem een oplossing en vermenigvuldig beide vergelijkingen (a²+c²+f²) , (b²+d²+e²) met p².

De "nieuwe" a en b hebben dan op z'n minst een gemene deler p, dat geldt ook voor de andere getallen.

En als je de grootste gemene delers van alle tweetallen ook verschillend wil hebben:
a=8, c=6, f=5, b=4, d=3, e=10:
64 + 36 + 25 = 16 + 9 + 100 = 125
ggd(a,b) = 4 > 1
ggd(c,d) = 3 > 1
ggd(e,f) = 5 > 1

Merk op: dit zijn 2 pythagoreische drietallen: (3,4,5) en (6,8,10) met elkaar verweven.

@Redcat,

Bijkomende voorwaarden:
ggd(a,c,f) = 0
ggd(b,d,e) = 0

Die eisen zijn niet mogelijk.

Grootste gemene delers zijn minstens 1.

@Redcat,

Sorry, verstrooid.
ggd (a,c,f) = 1
ggd (b,d,e)=1

ggd(a,b,c) = ggd(ggd(a,b), c) = ggd(a, ggd(b,c))

Voor het bovenstaand voorbeeld, met
a=8, c=6, f=5, b=4, d=3, e=10
levert dit:
ggd(a,c,f) = ggd(8, ggd(6,5)) = ggd(8, 1) = 1
ggd(b,d,e) = ggd(4, ggd(3,10)) = ggd(4, 1) = 1

Aanvulling:

Hier nog een aantal voorbeelden waarbij a, c en f alle 3 en b, d en e alle 3 onderling relatief priem zijn
(dus ggd(a,c) = ggd(a,f) = ggd(c,f) = 1 en ggd(b,d) = ggd(b,e) = ggd(d,e) = 1):

a=10, c=9, f=7, b=5, d=3, e=14
a=15, c=14, f=11, b=3, d=7, e=22
a=16, c=15, f=7, b=8, d=5, e=21
a=21, c=10, f=13, b=3, d=5, e=26

Wellicht bedoelde je dit?

@Redacat,

Ja dat bedoelde ik.
Volgende reactie van mij zou ik straks liefst in een nieuwe Topic plaatsen ....... FLT