[wiskunde] machtreeks
Geplaatst: ma 26 apr 2021, 00:11
Zij gegeven een machtreeks A(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + . . . met a0 > 0. In deze opgave gaan we op zoek naar wortel(x), oftewel een machtreeks
B(x) = b0 + b1x + b2x^2 + b3x^3 + . . . waarvoor geldt dat B(x)^2 = A(x) en b0 > 0.
Uiteraard zullen de coefficienten van B(x) afhangen van die van A(x); in deze opgave gaan we onderzoeken hoe.
(a) Druk de (gegeven) coefficienten aj
(van A(x)) uit in termen van de (gezochte)
coefficienten bi (van B(x)), door B(x)^2 uit te werken en gelijk te stellen aan A(x).
(b) Geef een recurrente betrekking (recursievergelijking) met beginwaarde voor de rij bi (i > 0). Gebruik hierbij de uitdrukkingen uit onderdeel (a). NB: de coefficienten van A(x) mogen hier dus in voorkomen.
(c) Bereken met behulp van de recursievergelijking de eerste vijf termen van de rij bi (dus b0 t/m b4) in het geval dat A(x) = 1 + x.
(d) Bereken deze zelfde vijf termen nogmaals maar nu met behulp van stelling het uitgebreide binomium van Newton. Vergelijk je uitkomst met onderdeel (c)
B(x) = b0 + b1x + b2x^2 + b3x^3 + . . . waarvoor geldt dat B(x)^2 = A(x) en b0 > 0.
Uiteraard zullen de coefficienten van B(x) afhangen van die van A(x); in deze opgave gaan we onderzoeken hoe.
(a) Druk de (gegeven) coefficienten aj
(van A(x)) uit in termen van de (gezochte)
coefficienten bi (van B(x)), door B(x)^2 uit te werken en gelijk te stellen aan A(x).
(b) Geef een recurrente betrekking (recursievergelijking) met beginwaarde voor de rij bi (i > 0). Gebruik hierbij de uitdrukkingen uit onderdeel (a). NB: de coefficienten van A(x) mogen hier dus in voorkomen.
(c) Bereken met behulp van de recursievergelijking de eerste vijf termen van de rij bi (dus b0 t/m b4) in het geval dat A(x) = 1 + x.
(d) Bereken deze zelfde vijf termen nogmaals maar nu met behulp van stelling het uitgebreide binomium van Newton. Vergelijk je uitkomst met onderdeel (c)