sciencetalk

Leuke integraal voor degenen die de techniek niet kennen.

$$\int \frac{x^{2022}-1}{\ln x}dx$$

De titel leidt tot de oplossing.

Vraag je echt om de onbepaalde integraal of heb je wellicht begrenzingen?

Excuses, het moet zijn. Per ongeluk op het verkeerde spoor gezet.

$$\int_0^1 \frac{x^{2022}-1}{\ln x}dx$$

De onbepaalde zal niet lukken.

x^2022 is praktisch gezien altijd 0 voor elke x <1 en 1 voor x=1.

Klopt. Ik had daar ook niet speciaal bij stil gestaan. Ik heb die 2022 gekozen omwille van het nieuwe jaar naar analogie met wiskunde olympiades waar ook vaak met het huidige jaartal gewerkt wordt. Als je hem kan oplossen voor x^5 is het dezelfde moeite om hem op te lossen voor x^2022. Nu, als je de truuk niet kent, niet evident om zelf te vinden.

Hieronder een spoiler naar het verhaal erachter van Nobelprijswinnaar Richard Feynman (die trouwens ook een bijdrage leverde aan de uitklaring van supergeleiding). Dat geeft een aanzet in welke richting gezocht moet worden.

https://www.cantorsparadise.com/richard ... afae85e25c

\(\int_0^1 \frac{x^{2022}-1}{\ln x}dx\)

\(I(a)=\int_0^1 \frac{x^{a}-1}{\ln x}dx\)

\(I(0)=0\)

\(\frac{d I(a)}{da}=\int_0^1 x^a dx=\frac{1}{a+1}\)

\(I(2022)=\int_0^{2022} \frac{1}{a+1} da=ln(2022+1)=7,612337\)

Hier was ik zonder de spoiler inderdaad nooit opgekomen.

Dat is het. Dit is een van de eenvoudigere Feynman integralen. Als je er op googlet vind je er veel terug. Zelfs als je weet dat ze met deze truuk kan oplossen is het niet altijd evident om op de functie te komen die je moet introduceren.
Deze truuk is ook dikwijls een alternatief voor contourintegratie. Ik vermoed dat deze integraal ook met contourintegratie lukt. Maar ik moet dat terug opfrissen, is te lang geleden dat ik dat nog een gedaan heb.
Deze truuk is uiteraard niet uitgevonden door Feynman, zijn naam wordt ermee geassocieerd omdat hij er naar verwijst in zijn boekje met anekdotes. Integraal van Feynman spreekt door zijn populariteit waarschijnlijk meer aan dan verwijzen naar de formule van Leibnitz.

HansH schreef: ↑wo 05 jan 2022, 23:07 x^2022 is praktisch gezien altijd 0 voor elke x <1 en 1 voor x=1.

Dat is waar. Tot mijn verbazing blijkt numeriek integreren, ondanks dat, goed mogelijk.