sciencetalk

Het is mij een raadsel hoe men aan de oplossing is gekomen!

Door de x en de 1-x^2 kan je wel denken aan een substitutie van x door cos(t).
Dan kom je een goniometrische vergelijking uit, die mij wel doenbaar lijkt.

Wel opletten met het teken van de sinus, maar je krijgt dan

$$\cos t (\sqrt{3-2 \cos t +\sqrt{5}\sin t } + \sqrt{\frac{3}{2}})=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$\cos t \sqrt{3-2 \cos t +\sqrt{5}\sin t }=\sqrt{\frac{2}{3}}- \sqrt{\frac{3}{2}} \cos t$$

$$\cos^2 t (3-2 \cos t +\sqrt{5}\sin t) =\frac{2}{3}+ \frac{3}{2}\cos^2 t-2\cos t$$

$$\frac{3}{2}\cos^2 t-2 \cos^3 t +\sqrt{5}\cos^2 t\sin t =\frac{2}{3}-2\cos t$$

Toch niet zo gemakkelijk.

Andersom weet je natuurlijk waaraan 4x^3-3x gelijk is uitgaande van de oplossing. Op basis van de formule voor cos(3X)=4cos^3x-3cos x zou dat -2/3 moeten zijn.

Maple en Mathematica geven (helaas) de oplossing enkel in complexe vorm! Dit geeft een puur reëel getal(≈0,24085) dat inderdaad ook verkregen wordt met de eenvoudige expressie