eenvoudige vergelijking voor populatie verandering

[biologie78]

In het wiskunde hoorcollege hebben we onderstaande formule gezien om de verandering van de populatie in functie van de de verandering van de tijd te beschrijven.

dp/dt=c (met d= delta en c= een constante)

hier uit proberen we de oplossing van te zoeken voor de populatie door de integraal aan beide kanten te nemen (beide met ondergrens 0 en boven grens t) zonder te vermelden waarom dit kan/mag

∫(dp/dt)*dt =∫cdt (beide integralen met ondergrens 0 en boven grens t)

vervolgens wordt gezegd dat de uitkomst hiervan gelijk is aan p(t)-p(0)=ct zonder enige tussen stappen zou iemand dit mij met tussen stappen kunnen uitleggen want ik dacht eventueel aangezien er in de eerste integraal zowel een dt in teller als noemer staat deze schrappen ten opzichte van elkaar en het volgende verkregen kan worden ∫dp =∫cdt

alvast bedankt

[Xilvo]

Opmerking moderator

Verplaatst naar het forum "Huiswerk en Practica".

[Xilvo]

Maakt dit het duidelijker?

\(\frac{dp}{dt}=c\)
\(dp=c dt\)
\(p(t_2)-p(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}c dt= ct |_{t_1}^{t_2}=c t_2 - c t_1\)

Bij jou is \(t_1=0\)

[biologie78]

Het rechter deel (cdt) snap ik want dat is gewoon een integraal nemen, maar ik snap niet hoe je van ∫(dp/dt)*dt komt op p(t2)-p(t1)

aangezien als je de dt schrap ten opzichte van elkaar vallen deze weg
(dp*dt)/dt = dp (maar er is mij toen vertelt dat dit niet mag en de dt's naar het rechter lid moesten (naar de ∫cdt) en dit brengt me in de war)

er ∫dp overblijft (ondergrens 0 bovengrens t) oorspronkelijk werd er geïntegreerd in de tijd want ∫(dp/dt)*dt daar stond deze dt voor maar nu is deze weg en wordt er geïntegreerd in de verandering van de populatie met de grenzen van de integraal een factor die tijd uitdrukt.

Maar als dit toch uitgevoerd wordt verkrijgt men toch dit?
∫dp (ondergrens 0 bovengrens t)
∫1*dp (ondergrens 0 bovengrens t)
[p] (ondergrens 0 bovengrens t)
waar uit volgt dat p(t)-p(0)?

[OOOVincentOOO]

Denk aan de rekenregel:

\(\dfrac{5}{13}=12\)

\(13=12 \cdot 5\)

\(1 \cdot 13=12 \cdot 5\)

\(f(x) \text{: functie waarde } f \text{ op } x\)
\(g(b) \text{: functie waarde } g \text{ op } b\)
\(k(n_1) \text{: functie waarde } k \text{ op } n_1\)
=================================================================================
Het kan helpen alle tussen stappen op te schrijven. Hoe ik begrijp:

\(\dfrac{dp}{dt}=c\)

\(1 \cdot dp =c \cdot dt\)

\(\int_{p_1}^{p_2} 1 \cdot dp =\int_{t_1}^{t_2} c \cdot dt\)

Integreren onthoud: \(\small \int 1 \ dx=x\):

\(p \lvert_{p_1}^{p_2} =ct \lvert_{t_1}^{t_2}\)

\(p_2-p_1 =c\cdot t_2-c\cdot t_1\)

\(p_2-p_1 =c(t_2-t_1)\)

[Kleine edits binnen de tijd!!!]

[Xilvo]

\(\frac{dp}{dt}\) zegt je hoe snel de populatie verandert. Bijvoorbeeld, het kan de waarde 2,3 exemplaren per seconde hebben (doet er niet toe of dit een realistische waarde is of niet).

Als die waarde constant is, zoals in jouw voorbeeld, \(c=2,3\), dan hoef je niet te integreren.
Als je dan kijkt van t=0 tot t=10, dan weet je dat er \(c(t_2-t_1)=c(10-0)=10\cdot c=23\) exemplaren bij zijn gekomen.

Als c constant is, kun je schrijven \(\frac{dp}{dt}=\frac{p_2-p_1}{t_2-t_1}=c\) dus \(p_2-p_1=c(t_2-t_1)\)
Dat is natuurlijk \(p_2-p_1=\int_{t_1}^{t_2}c dt\)

Feitelijk hoef je pas te integreren als \(\frac{dp}{dt}\) niet voortdurend dezelfde waarde heeft, als c niet constant is maar in de tijd varieert: \(c=c(t)\).
Je krijgt dan \(p_2-p_1=\int_{t_1}^{t_2}c(t) dt\). Het linkerlid blijft hetzelfde (de totale verandering van de populatie) maar het rechterlid is anders. Je moet dan weten hoe c van de tijd afhangt om de integraal uit te kunnen rekenen.

[biologie78]

sorry snap het nog steeds niet ik heb een foto uit de cursus bijgevoegd, zie bijlage, hoe gaan ze van die integraal (dp/dt)*dt over na de onderste tekst in het blauw?

bijlage

[OOOVincentOOO]

\(\int 1\ dx=x\)
\(\int x \ dx=\frac{1}{2}x^2\)
\(\int x^2 \ dx=\frac{1}{3}x^3\)
\(\int x^3 \ dx=\frac{1}{4}x^4\)
\(\ldots\)

Met constante \(\small a\) onafhankelijk/geen functie van \(\small x\):
\(\int a \cdot dx=a \int 1 \cdot dx=a \cdot x=ax\)

Jouw voorbeeld:
\(\int c \cdot dt=c \int 1 \cdot dt=c \cdot t=ct \)

Hierna werken met integraal bereik.
Wellicht een wiskundeboek naslaan en de regels opnieuw erin "drillen".
Leren omgaan met andere variabele \(\small a, \ t, \ v, \ c \ldots\) namen behalve \(\small x\).
[Kleine edits]

[flappelap]

Er mist volgens mij een flinke basis analyse/wiskunde bij TS, die wellicht bijgespijkerd moet worden voordat hij diffvgl zou doen.

[Xilvo]

Over welke opleiding gaat het hier?

[biologie78]

Bachelor Biologie

Ben mij hier bewust van 'Er mist volgens mij een flinke basis analyse/wiskunde bij TS, die wellicht bijgespijkerd moet worden voordat hij diffvgl zou doen.' ik probeer het bij te werken

[OOOVincentOOO]

Gokje na google: een bachelor biologie?

[biologie78]

Studie Materiaal.jpg

Gokje na google: een bachelor biologie?

ja

[flappelap]

In feite gebruik je de hoofdstelling van de integraalrekening: de integraal van dp/dt naar t tussen t=a en t=b geeft domweg p(b)-p(a).

[biologie78]

is dit niet gebruik maken van Scheidbare veranderlijken?