1 van 2
integraal
Geplaatst: di 31 jan 2023, 19:52
door ukster
![bepaalde integraal](./download/file.php?id=39830&sid=46bdfb62bef9248521e2cd264c038322)
- bepaalde integraal 5756 keer bekeken
Welke substitutie(s) kunnen hier het beste worden toegepast?
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 12:27
door tempelier
Heb je al geprobeerd hem op te spitsen via:
ln(a/b) = ln a - ln b
?
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 12:57
door ukster
Ja, bijvoorbeeld met substitutie x=3y en aanpassing van de integratiegrenzen.
![substitutie](./download/file.php?id=39833&sid=46bdfb62bef9248521e2cd264c038322)
- substitutie 5677 keer bekeken
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 13:09
door tempelier
dy/y = ln y
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 13:11
door wnvl1
Misschien reeksontwikkeling van de ln rond 1?
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 13:29
door ukster
tempelier schreef: ↑wo 01 feb 2023, 13:09
dy/y = ln y
Dit levert een expressie met dilog op
de numerieke oplossing ervan is ≈0,60347.... dus dat klop wel
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 20:52
door wnvl1
Je hebt via reeksontwikkeling
$$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$
,dus
$$\ln(1+9y^4) = 9y^4-\frac{9^2y^8}{2}+\frac{9^3y^{12}}{3}-\frac{9^4y^{16}}{4}+\cdots$$
en
$$\ln(1+y^2) = y^2-\frac{y^4}{2}+\frac{y^{6}}{3}-\frac{y^{8}}{4}+\cdots$$
$$\frac{\ln(1+9y^4) - \ln(1+y^2)}{y}=-y + \frac{17}{2}y^3-\frac{1}{3}y^5-\frac{191}{4}y^7+...$$
Dat integreren en dan grenzen invullen, maar direct naar een oplossing leiden doet dat ook niet, denk ik.
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 21:53
door HansH
ukster schreef: ↑di 31 jan 2023, 19:52
bepaalde integraal.png
Welke substitutie(s) kunnen hier het beste worden toegepast?
is er een reden waarom het zodanig is opgeschreven dat de 1/x apart staat en niet al is vermenigvuldigd met de noemer tot x^3 +9x ?
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 22:34
door ukster
wnvl1 schreef: ↑wo 01 feb 2023, 20:52
Dat integreren en dan grenzen invullen, maar direct naar een oplossing leiden doet dat ook niet, denk ik.
Ik verwacht ook niet dat hiermee de exacte oplossing 1/2(ln(3))
2 er uitrolt.
HansH schreef: ↑wo 01 feb 2023, 21:53
is er een reden waarom het zodanig is opgeschreven dat de 1/x apart staat en niet al is vermenigvuldigd met de noemer tot x^3 +9x ?
Kan niet. De complete ln-uitdrukking wordt gedeeld door x
Overigens hebben W.Janous en S.Jason het probleem gegeneraliseerd met het volgende bewijs:
![bepaalde integraal](./download/file.php?id=39838&sid=46bdfb62bef9248521e2cd264c038322)
- bepaalde integraal 5566 keer bekeken
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 22:39
door wnvl1
Waar kunnen we dan het bewijs vinden?
Of moeten we die uitdrukking met de dilog als bewijs beschouwen?
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 22:45
door ukster
wnvl1 schreef: ↑wo 01 feb 2023, 22:39
Waar kunnen we dan het bewijs vinden?
Of moeten we die uitdrukking met de dilog als bewijs beschouwen?
Op het net heb ik dat bewijs (nog) niet kunnen vinden.
Die dilogexpressie geeft de numerieke oplossing.
ik had gedacht de exacte oplossing te vinden door substitutie(s)
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 23:01
door ukster
Ik stel me zo voor dat door het toepassen van nog een (slimme) substitutie het probleem wordt opgedeeld in bijvoorbeeld drie integralen waarvan er één het exacte resultaat oplevert en de som van de andere twee nul is.
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 23:27
door wnvl1
Dikwijls zit er in dat soort van puzzels ook een symmetrie waardoor er dingen wegvallen. Die symmetrie komt dan vaak naar boven door de juiste substitutie.
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 23:31
door OOOVincentOOO
Helpt dit (via staartdeling):
$$\log\left( \frac{x^4+9}{x^2+9} \right)= \log \left( \frac{(x^2+9)(x^2-9)+90 }{x^2+9} \right) = \log \left( \frac{a+90 }{a} \right) $$
Late avond post dus foutjes kunnen erin zitten. En dan integration by parts?
mmm. foutje ingeslopen te laat om te repareren en geen edit tijd meer
![Droevig :(](./images/smilies/icon_e_sad.gif)
. Net edit gedaan weet niet of klopt. Snel checken op papier.
Re: integraal
Geplaatst: wo 01 feb 2023, 23:44
door wnvl1
\(x^2-9 + \frac{90}{x^2+9}\)
Maar ik betwijfel dat het helpt.