Hierboven een plaatje met punt P = (xp, yp) op de rode curve y = x
2n
De groene lijn is de raaklijn in P aan de curve.
De blauwe lijn l staat loodrecht op deze raaklijn, loopt ook door P en snijdt de y-as in M = (0, m).
Dan is de vergelijking van l:
\(l:\; y=-\frac{1}{2n\cdot x_p^{2n-1}}\cdot x + m\)
Omdat P op l ligt levert dit:
\( m = y_p+\frac{1}{2n\cdot x_p^{2n-1}}\cdot x_p = y_p+ \frac{1}{2n}\cdot x_p^{(2-2n)}\)
.
Vul dit in in de cirkelvergelijking van de raakcirkel:
\(C: \; r^2 = x^2+(y-m)^2\)
en gebruik dat P ook op deze cirkel ligt. Dat geeft:
\(r^2 = x_p^2 + \frac{1}{4n^2}\cdot x_p^{(4-4n)}\)
.
We willen r² minimaliseren: afgeleide naar x
p nul stellen. Dit levert op (naast x
p=0):
\(x_{p,min} = \left( \frac{2n^2}{n-1} \right)^{\frac{1}{2-4n}}\)
en vervolgens via de vergelijking voor r²:
\(r_{min} = x_{p,min}\cdot \sqrt{\frac{2n-1}{2n-2}}\)
.
Voor n=3 geeft dit
\(x_{p,min} = 3^{-1/5}\)
en
\(r_{min} = 3^{-1/5} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{5}\)
zoals we eerder al zagen.
@ukster:
Hoe kom je aan de waarde van k in de blauwe cirkel?