sciencetalk

Ik heb een vraag over de omgekeerde tetratie.
Stel ik weet x^^x, als x bekent is bijv. 3, dan is 3^^3=3^3^3=3^27=7.625.597.484.987, tot zover is het niet moeilijk. Maar terugrekenen is een heel ander verhaal.
Ik bedoel x^^x=7.625.597.484.987, wat is dan x, nou ik weet dat het toevallig 3 moet zijn. Het is nog steeds niet moeilijk.

Het wordt wel heel moeilijk als ik een willekeurig getal ga invullen, zodat "x", niet meer een geheel getal is.

Bijv. als x^^x=10
Hoe bereken je dan x?
Is dit wel te berekenen?
Met welke formule?
Als het tegenovergestelde van x^x de "superwortel" heet. Hoe heet het tegenovergestelde van x^^x dan?
En wat is de waarde van x in dit geval op zo'n 1000 cijfers achter de komma?

Is hier iemand die het weet?

\(x^x = 10\) kan je oplossen door te zoeken naar nulpunten van de functie

$$f(x)=x^x-10$$

Om nulpunten van f(x) te vinden kan je gebruik maken van numerieke methodes. Een heel eenvoudige methode is bvb Newton Raphson.

wnvl1, dit is niet X^X=10, maar X^^X=10.
X^X weet ik ook wel hoe je dat moet oplossen, dat is de "superwortel" uit 10. Ofwel je moet een getal berekenen waarvan het grondtal tot zichzelf is verheft, waarvan grondtal en exponent gelijk zijn, X^X.
Maar dat staat er niet, er staat X^^X=10, wat is X en is dat te berekenen? Dit is een getal dat tot zichzelf is getetreerd waar dan 10 uit komt.
Bij deze staat het exponent niet rechtsboven, maar linksboven. Alleen kan ik dat hier niet weergeven, vandaar dat ik het met dit ^^ aangeef.

Dus x^x^x is \(x^{x^x}\).

Op zich verandert dat niks fundamenteels. Je kan nog steeds Newton Raphson toepassen.

https://nl.wikipedia.org/wiki/Methode_v ... on-Raphson

Eerste stap is het berekenen van de afgeleide. Probeer maar eens...

Nee, nog steeds niet goed. x^^x is x ^ x ^ x ... ^ x ^ 1 (TeX laat mij hier in de steek, het resultaat is afschuwelijk) waarbij het aantal machtsverheffingen óók gelijk is aan x. Met andere woorden de x is niet alleen een onbekende variabele, maar ook nog eens een variabele in het aantal malen dat je moet machtsverheffen.

Geen flauw idee hoe je zoiets aanpakt. Heb een sterk vermoeden dat het antwoord iets van Lamberts W-functie zal bevatten. Ook geen flauw idee of tetratie is gedefiniëerd voor rationele, irrationele en complexe getallen. (Zal vast wel.)

OK. Ik kende het niet. Op basis van

https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration

lijkt het dat er niet direct hele mooie analytische uitbreidingen zijn. Op wiki verwijzen ze naar

Andrew Robbins. Solving for the Analytic Piecewise Extension of Tetration and the Super-logarithm. The extensions are found in part two of the paper, "Beginning of Results".