sciencetalk

Een rechtopstaande staaf met massa m en lengte L krijgt een impuls J aan de basis, gericht onder een hoek van 45 graden omhoog ten opzichte van de horizontaal, waardoor de staaf in beweging komt. Welke waarde(n) moet J hebben zodat de staaf weer verticaal landt (d.w.z. rechtop op het uiteinde waarop J werd uitgeoefend)

Ik kom op

$$\frac{\sqrt{30 \pi L}m}{3}$$

Op tijdstip t=0 stuwt de impuls de staaf omhoog met verticale snelheid v_y terwijl deze roteert om zijn zwaartepunt met hoekfrequentie ω. Om de staaf verticaal op zijn basis te laten neerkomen moet deze gedurende de vluchttijd T, in totaal 2πn radialen roteren (n = 1,2,3…) zodat ωT=2πn, terwijl zijn zwaartepunt, een parabolische boog volgend, terugkeert naar zijn starthoogte y(0)=y(T)=L/2. De verticale component van de impuls is Jsin45°, wat, volgens de impulsmomentstelling, gelijk moet zijn aan het verticale momentum mv_y van de staaf, dus, v_y=J/(m√2) (1)
Op dezelfde manier is de horizontale component van de impuls Jcos45°, die vermenigvuldigd met de lengte van de arm L/2 gelijk moet zijn aan het impulsmoment van de staaf Iω waarbij het traagheidsmoment van de staaf rond zijn zwaartepunt is: I=mL²/12, dus ω=3J√2/mL (2). De hoogte van het zwaartepunt van de staaf op tijdstip t is:
y(t)=L/2+v_y t -1/2 gt². Tevens geldt: y(T)=L/2 ,dus met behulp van (1) vinden we T=J√2/mg (3).
ωT=2πn, dus uit (2) en (3) volgt: J=m√(πgLn/3) voor n = 1,2,3… .