Volkomen kwadraat
Geplaatst: wo 14 aug 2024, 11:52
Vraag uit finale van Wiskundeolympiade paar jaar geleden: zij a, b en c gehele getallen zodat a+b+c = 0. Bewijs dat (a^4 +b^4 +c^4)/2 een volkomen kwadraat is.
Ik was benieuwd hoe jullie dit zouden aanvliegen. Mijn redenering was als volgt: a+b+c = 0 suggereert dat tenminste een en maximaal twee van deze getallen negatief is, dus mag je stellen: a+b = c (of iedere andere combinatie die altijd in de kern op hetzelfde neerkomt, zoals a = b+c o.i.d.). Een volkomen kwadraat suggereert: (a^4 +b^4 +c^4)/2 = n^2. Substitutie levert: (a^4 +b^4 +(a+b)^4)/2, waaruit volgt: a^4 + b^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3. Dit is binnen haakjes te zetten als: (a^2+ab+b^2)^2 en dus in de vorm van n^2, een volkomen kwadraat.
Punt 1: klopt mijn redenering (los van de misschien wat onhandige notatie)? En punt 2: is er een snellere/andere oplossing?
Dank!
Ik was benieuwd hoe jullie dit zouden aanvliegen. Mijn redenering was als volgt: a+b+c = 0 suggereert dat tenminste een en maximaal twee van deze getallen negatief is, dus mag je stellen: a+b = c (of iedere andere combinatie die altijd in de kern op hetzelfde neerkomt, zoals a = b+c o.i.d.). Een volkomen kwadraat suggereert: (a^4 +b^4 +c^4)/2 = n^2. Substitutie levert: (a^4 +b^4 +(a+b)^4)/2, waaruit volgt: a^4 + b^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3. Dit is binnen haakjes te zetten als: (a^2+ab+b^2)^2 en dus in de vorm van n^2, een volkomen kwadraat.
Punt 1: klopt mijn redenering (los van de misschien wat onhandige notatie)? En punt 2: is er een snellere/andere oplossing?
Dank!
