sciencetalk

Dag beste mensen, ik heb een uitdaging: ik heb een huis gekocht met een oppervlakte van 16,5m bij 6,65m. Nu wil ik daarin een tegelvloer aanleggen 'in wild verband'. Ik heb 4 verschillende formaat tegels:
30 x 30
30 x 50
50 x 50 en
80 x 80.
Ik zelf ben best erg creatief en kan op gevoel een tegelplan maken (maar dat valt niet mee). Ik heb op internet gezocht naar tegelplannen maar er geen gevonden die werkt met al mijn 4 formaten. Ik heb zelfs gezocht naar AI-oplossingen, maar ook daar kom ik niet uit.
Mijn hoop is dat er iemand mij kan helpen meedenken bij het vinden van een 'wild tegelplan'. Dat lijkt me een uitdaging voor wiskundigen?
vriendelijke groet, Leo

Hier een random betegeling van een rechthoek van 1650 x 660 met jouw tegelformaten.
Bedoel je dit met een "wild tegelplan" ?

Hoi! Allereerst enorm bedankt voor je reactie, enorm gewaardeerd en het is inderdaad een 'wild plan'! Toch hoopte en kijk ik uit naar nog meer verspreiding van de tegels, minder in rijtjes, minder dezelfde formaten naast elkaar.
Hoe ben jij tot dit resultaat gekomen? Want, hoe zeer ik jouw aanbod waardeer, ik wil óók leren hoe je tot zo'n resultaat bent gekomen. Kun je me een tipje van de sluier oplichten? Hoeveel verschillende uitkomsten zouden er bestaan?
Dank alvast voor je reactie! Fijne zondag!

Ik laat de computer van linksboven naar rechtsonder de tegels leggen.
Per locatie die opgevuld moet worden bekijkt hij welke van de 5 tegels mogelijk zijn, en uit die mogelijke tegels kiest hij er random 1 (= willekeurig = op basis van toeval).

Je tegelformaten beperken die mogelijkheden.
Voorbeeld:
Stel we willen in figuur 1 het gat naast de 3 rode 30x30 tegels opvullen.
Dan kan dat niet met een 80x80 blok (figuur 2a) omdat we dan een resterend gat met hoogte 10 overhouden (3x30 - 80 = 10)
Evenzo (fig. 2b en 2c) houden we met de 30x50 en 50x50 tegels restgaten met een hoogte van 40 cm over die we met onze tegels nooit opgevuld krijgen.

Bij aaneensluitende tegelplaatsing kunnen er restgaten ontstaan waarvan de kleinste de afmetingen heeft van de grootste gemene deler van de gebruikte tegelafmetingen.
Van de getallen 30, 50 en 80 is de grootste gemene deler 10, dus er kunnen gat-afmetingen in veelvouden van 10 ontstaan, die we met deze tegels niet opgevuld krijgen.

We moeten in dit voorbeeld dus doorgaan met 3 tegels met hoogte 30, dwz. 30x30 (rood) en/of 50x30 (donkergroen).
Als dit voortzet ontstaan de rood/donkergroene rijen.
Ditzelfde kan gebeuren voor lichtgroene/blauwe rijen.

Het aantal rode tegels op rij en dan weer een aantal donkergroene tegels op rij wordt veroorzaakt door toeval.
Omdat je deze per rij vrij mag verwisselen is dat eenvoudig aan te passen.

Het handigste zou zijn om de keuze van je tegelformaten hierop aan te passen, bijvoorbeeld:
- 30x30
- 60x30 = 30x60
- 60x60
- 90x90
De grootste gemene deler van 30, 60 en 90 = 30, de kleinste gaten die kunnen vallen hebben dus een afmeting van 30x30, en die kunnen we altijd opvullen met de 30x30 tegel.

Hier een voorbeeld met deze formaten:
Doordat we veel meer plaatsingsvrijheid hebben (elke tegel die past mogen we leggen) zijn we van die lijnstructuren af.


Dan het aantal oplossingen: dat zijn er heel veel.
Grofweg: stel we plaatsen zo'n 600 tegels, en we zouden per tegel slechts 2 keuzemogelijkheden hebben, dan levert dit al \(2^{600} \approx 10^{180}\) oplossingen.
De bekende vergelijking in dit kader: het aantal atomen in het heelal zou ongeveer \(10^{80}\) zijn.

Hallo Redcat,
Wederom enorm bedankt voor je antwoorden. Je bent een echte leraar. Je antwoordt in ‘lekentaal’ (om niet het eufemisme ‘Jip&Janneke’ te gebruiken) aan een ogenschijnlijke leek, die bewonderend en nieuwsgierig je woorden slurpt.
Mag ik nog verdere vragen stellen?
Maar eerst een klein beetje de achtergrond van mijn dilemma …
Mijn vrouw en ik hebben een huisje gekocht in zuid Frankrijk, in de buurt van de Gorges du Verdon. Daar wonen en werken wij. We zijn zo’n 7 jaar geleden uit Nederland vertrokken en hebben het drukke(!), platte(!) en regenachtige(!!) land en ons werk aldaar achter ons gelaten. Ik werkte als Hoofd ICT en Hilde als manager bij de reclassering. Hier ben ik klusjes- en tuinman, onderhoud zwembaden en we verhuren vakantiewoningen van derden en doen alles wat daarbij komt kijken (bijv. schoonmaak). Het leven hier is rustiger en zonniger en het landschap is wonderschoon.
In het al genoemde huis willen wij een zogenaamde ‘kloostervloer’ leggen (‘carrelage monastere’ van Leroy Merlin=bouwmarkt) en die tegels komen in voornoemde formaten. Echter zónder tegelplan voor 4 formaten, wel een plan met 3 formaten (zonder de ‘afwijkende’ 50x50 tegel).
Tot zover de achtergrond van mijn vraag.
Ik vermoedde al wel dat je de computer gebruikte om tegels te leggen. Het daadwerkelijke leggen laten wij over aan een bevriende en gediplomeerde ‘carreleur’. Maar in welke taal, in welke woorden, heb jij de computer gevraagd om tegels te leggen? Welk programma gebruik je hiervoor? Ik was IT-beheerder, geen programmeur. Ik faciliteerde, mijn creatieve uitingen liggen op een geheel ander vlak.
Als we kijken naar jouw 2 gegeven voorbeelden, is de vlak/tegel verdeling in vb 2 gelijkmatiger, een vloer waarop mijn vrouw ook zou willen wonen. Vb1 is ook ‘waanzinnig creatief’ en ikzelf zou daar ook wel mee kunnen leven. (Komt een beetje overeen met de karakterbeschrijvingen van mijn vrouw en mij).
Begrijp ik je goed dat met de beschikbare formaten, we gebonden zijn aan een ‘lijnstructuur’? De logische argumentatie daarachter begrijp ik nog niet.
Wel begrijp ik de argumentatie van de grootste gemene deler. En daarmee de keuze voor tegels in de reeks van 30, dus in ons geval bijvoorbeeld van 60x60 en 90x90 vv. ipv. 50x50 en 80x80. Dan zou je inderdaad eenvoudig elk opengevallen gat hebben kunnen opvullen met een van 30x30. Dat zou een commercieel verstandigere keuze voor de fabrikant zijn geweest. Maar helaas, die zijn er niet (ik doel op de tegels, niet op de fabrikant).
Tot slot heb je het over ‘dé bekende vergelijking’ dat “het aantal atomen in het heelal ongeveer 10 tot de macht 80 zou zijn”. Wat een waanzinnig idee vind ik dat! Het voert te ver om daarover een uitgebreidere lezing te vragen maar ik vind het een uitermate boeiende gedachte hoe men tot die ‘vaststelling’ is gekomen.
Samengevat is mijn vraag: is er een gelijkmatigere vlak/tegelverdeling met de gegeven formaten tegels mogelijk (meer als jouw vb2) en hoe vraag ik de computer dat?
Vriendelijke groet, Leo

Een andere benadering:
(niet heel netjes getekend in Powerpoint, daardoor ziet het er niet zo mooi uit. Even op klikken om het beter te zien)
1 tegel van 50x50, 1 van 30x30 en 2 van 50x30 maken samen een vierkant van 80x80. Deze heeft 4 mogelijke orientaties. Samen met de tegel van 80x80 heb je 5 legmogelijkheden.

Die 5 mogelijkheden kun je redelijk makkelijk zo leggen dat nooit 2 dezelfde naast elkaar liggen, maar zelfs als dat wel een keer gebeurt is dat weinig storend. Ik heb voor bovenstaand plan hele stukken gekopieerd en zelfs dat valt niet/nauwelijks op.

Mijn aanpak zou dus zijn om 5 stapels, 4 stapeltjes voor de groep van 4 tegels in 4 verschillende oriëntaties en 1 voor de tegels van 80x80. En dan rij voor rij stukken van 80x80 te leggen, steeds min of meer willekeurig van een stapel pakken, eventueel kijken dat je niet aansluitende 2 dezelfde patronen legt. Als je steeds rij voor rij legt, sluit elke nieuwe tegel/groep van tegels steeds aan 2 kanten ergens aan. Dan heb je voor de nieuwe tegel dus 3 keuzes.

Als je het op die manier doet hoef je van tevoren niet te veel uit te denken of te tekenen, en komt het toch redelijk "wild" uit.

Geniaal! =>
Mijn aanpak zou dus zijn om 5 stapels, 4 stapeltjes voor de groep van 4 tegels in 4 verschillende oriëntaties en 1 voor de tegels van 80x80. En dan rij voor rij stukken van 80x80 te leggen, steeds min of meer willekeurig van een stapel pakken, eventueel kijken dat je niet aansluitende 2 dezelfde patronen legt. Als je steeds rij voor rij legt, sluit elke nieuwe tegel/groep van tegels steeds aan 2 kanten ergens aan. Dan heb je voor de nieuwe tegel dus 3 keuzes.
Echt een héél goed idee! Dank , heel hartelijk dank!
Fijne dag, hartelijke groet, Leo