Wat de originele vraag betreft, is de aanzet van chatgpt juist, denk ik.
chatgpt schreef:We willen de geodetische lijn vinden op het oppervlak \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \), tussen de punten \((1, 0, 1)\) en \((0, 1, 1)\). Hier is een gedetailleerde uitwerking:
---
### 1. **Oppervlak en parameterisatie**
Het oppervlak is \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \). De parameterisatie is:
\[
\mathbf{r}(x, y) = (x, y, \sqrt{x^2 + y^2}).
\]
De punten \((1, 0, 1)\) en \((0, 1, 1)\) liggen op het oppervlak omdat \(z = \sqrt{x^2 + y^2} = 1\).
---
### 2. **Eerste fundamentele vorm**
De eerste fundamentele vorm beschrijft de metriek van het oppervlak:
\[
\mathbf{r}_x = (1, 0, \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}), \quad \mathbf{r}_y = (0, 1, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}).
\]
**Coëfficiënten van de metriek:**
\[
E = \mathbf{r}_x \cdot \mathbf{r}_x = 1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2},
\]
\[
F = \mathbf{r}_x \cdot \mathbf{r}_y = \frac{xy}{x^2 + y^2},
\]
\[
G = \mathbf{r}_y \cdot \mathbf{r}_y = 1 + \frac{y^2}{x^2 + y^2}.
\]
Na vereenvoudiging:
\[
E = \frac{x^2 + y^2 + x^2}{x^2 + y^2} = 2, \quad F = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \quad G = \frac{x^2 + y^2 + y^2}{x^2 + y^2} = 2.
\]
De eerste fundamentele vorm wordt dus:
\[
I = 2dx^2 + 2\frac{xy}{x^2 + y^2} dx \, dy + 2dy^2.
\]
---
### 3. **Geodetische vergelijking**
De geodetische lijn wordt gevonden door de Lagrangiaan af te leiden:
\[
\mathcal{L} = \sqrt{E \dot{x}^2 + 2F \dot{x}\dot{y} + G \dot{y}^2}.
\]
Invullen van \(E = 2\), \(F = \frac{xy}{x^2 + y^2}\), en \(G = 2\):
\[
\mathcal{L} = \sqrt{2\dot{x}^2 + 2\frac{xy}{x^2 + y^2}\dot{x}\dot{y} + 2\dot{y}^2}.
\]
De geodetische vergelijkingen volgen uit de Euler-Lagrange-vergelijkingen:
\[
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0, \quad
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0.
\]
Dit levert een stelsel van niet-lineaire differentiaalvergelijkingen, die meestal numeriek opgelost moeten worden.
Daarnaast geeft chatgpt een vereenvoudiging met sferische coördinaten. Ik zet ze hieronder, maar die is volgens mij verkeerd. Ik citeer ze toch even. Ik vraag me overigens af, hoe je kan weten dat geodeten rechte lijnen zijn in polaire coördinaten? Dat is daar het uitgangspunt van chatgpt.
chatgpt schreef:
### 4. **Sferische coördinaten simplificatie**
Het oppervlak is een kegel. Dit betekent dat de geodeten rechte lijnen zijn in polaire coördinaten \((r, \theta)\), waarbij \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) en \(\theta = \arctan(y/x)\).
**Transformeer de punten:**
- Punt \((1, 0, 1)\): \(r = 1\), \(\theta = 0\),
- Punt \((0, 1, 1)\): \(r = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\).
In polaire coördinaten is de geodetische lijn een rechte lijn:
\[
\theta(t) = (1 - t)\cdot 0 + t \cdot \frac{\pi}{2}, \quad r = 1.
\]
**Terug naar Cartesische coördinaten:**
\[
x(t) = r \cos(\theta(t)) = \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right),
\]
\[
y(t) = r \sin(\theta(t)) = \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right),
\]
\[
z(t) = \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2} = 1.
\]
---
### 5. **Parametrisatie van de geodetische lijn**
De geodetische lijn in Cartesische coördinaten is:
\[
x(t) = \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right), \quad y(t) = \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right), \quad z(t) = 1, \quad t \in [0, 1].
\]
---
### 6. **Resultaat**
De kortste pad tussen \((1, 0, 1)\) en \((0, 1, 1)\) op het oppervlak \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) is:
\[
\mathbf{r}(t) = \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right), \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right), 1\right), \quad t \in [0, 1].
\]
Verder bouwend op de eerste oplossing van chatgpt is het nu zaak om de randvoorwaarden juist verwerkt te krijgen. Dat moet ik nog eens herbekijken.
