sciencetalk

Met de klassieke mechanica vindt men voor de afbuiging van licht dat langs de zon scheert veelal de helft van de juiste (relativistische) waarde voor de totale afbuiging van de lichtstraal. In een ander topic denk ik nu een semi-klassieke afleiding te hebben gevonden op basis van klassieke gravitatie maar met een voortplantingssnelheid c voor de gravitatie-werking. Wat ik mij nu afvraag is:

a. Klopt dit?
b. Is zoiets al bekend?

Hier mijn verhaal:

We beschouwen lichtbuiging bij het passeren van de zon semiklassiek aan de hand van geretardeerde gravitatie. Zie onderstaande schets:
Stel je voor dat twee lichtdeeltjes in tegengestelde richting langs de zon scheren. Dan wordt de zon daardoor “naar beneden” getrokken. Omdat de afbuiging van de lichtdeeltjes miniem is kun je de mate waarin de zon door de lichtdeeltjes wordt aangetrokken eenvoudig berekenen door de banen van de lichtdeeltjes (bij die berekening) als rechte lijnen te beschouwen. De afwijking van de rechte banen wordt immers pas aanmerkelijk heel ver van de zon en daar is de gravitatie-werking van de lichtdeeltjes op zon inmiddels verwaarloosbaar. Als je weet welke neerwaartse impuls de zon door het passeren van de lichtdeeltjes krijgt weet je ook welke impuls omhoog de lichtdeeltjes zelf door het passeren van de zon verkrijgen. En daar volgt dan de afbuiging van de lichtdeeltjes uit.

Lichtdeeltjes (tegenwoordig fotonen genaamd) hebben een onbekende rustmassa, men neemt aan dat die nul of in ieder geval heel klein is. Voor onze semiklassieke afleiding veronderstellen we dat lichtdeeltjes een minieme massa van m (dus niet nul) hebben en zich met de lichtsnelheid c (of bij benadering met de snelheid c) voortbewegen. De exacte waarde van m is irrelevant want die valt uit de eindformule toch weer weg. Van heel grote afstand bekeken ziet de interactie van de lichtdeeltjes met de zon eruit als een simpele botsing in een (nagenoeg vlakke) ruimtetijd. Als eindresultaat heb je opnieuw twee lichtdeeltjes die in een veranderde richting bewegen en de zon die een "neerwaartse" snelheid heeft gekregen. Het is onaannemelijk dat er bij dit proces gravitatiegolven met een aanmerkelijke impuls worden opgewekt. Daarom gaan we ervan uit dat klassiek impulsbehoud weliswaar niet instantaan maar wel voor de botsing als geheel geldig blijft.

Aangezien de lichtdeeltjes zeer snel bewegen en de zon veel zwaarder dan de lichtdeeltjes is zal de zon gedurende het passeren van de lichtdeeltjes nauwelijks van haar plaats komen. Bovendien is de afbuiging van de lichtdeeltjes zelf zeer gering. We kunnen de krachtstoot die de zon als gevolg van het passeren van de lichtdeeltjes ondergaat daarom bij benadering berekenen door te veronderstellen dat de zon zich in een xy-stelsel op de positie (0,d) bevindt (met d het perihelium) en de twee lichtdeeltjes in tegengestelde richting met de lichtsnelheid c over de x-as bewegen. Dat geeft onderstaande (benaderde) situatie:
Voor de instantane gravitatie-werking Fi(t) op de zon hebben we dan:

\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m}}{ x_1^2(t) + \mathrm{d}^2} \cdot \cos(\alpha) \)

\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m}}{ x_1^2(t) + \mathrm{d}^2} \cdot \frac{ \mathrm{d} }{ \sqrt{ x_1^2(t) + \mathrm{d}^2 }} \)

\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m} \mathrm{d}}{ (x_1^2(t) + \mathrm{d}^2)^{1,5}} \)

\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m} \mathrm{d}}{ (\mathrm{c}^2 t^2 + \mathrm{d}^2)^{1,5}} \)

\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m} \mathrm{d}}{ (\mathrm{c}^2 t^2 + \mathrm{d}^2)^{1,5}} \)


Noem nu t de echte tijd en t' de geretardeerde tijd. We gaan ervan uit dat de gravitatie-werking zich met een snelheid c voortplant. Dus zal de gravitatie-werking die op een tijdstip t' van de lichtdeeltjes uitgaat de zon steeds pas op een later tijdstip \( t = t' + \Delta t \) bereiken. De daarbij te overbruggen afstand is volgens de tweede (als benadering gebruikte) tekening \( \sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} \). Zodat:

\( \mathrm{c} \Delta t = \sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} \)

\( \Delta t = \frac{\sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} }{ \mathrm{c} } \)

Bijgevolg krijgen we:

\( t = t' + \Delta t \)

\( t' = t - \Delta t \)

\( t' = t - \frac{\sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} }{ \mathrm{c} } \)

De gravitatie-werking die op een tijdstip t' van de lichtdeeltjes uitgaat bereikt de zon steeds pas op een later tijdstip t. Anders gezegd: de zon ondervindt op ieder tijdstip t dus steeds de gravitatie-werking die zij bij een instantane gravitatie al bij op het eerdere tijdstip t' zou hebben ondervonden. Om daar rekening mee houden moeten we in de formule voor de door de zon ondervonden gravitatie-werking bij instantane gravitatie \( F_i(t) \) dus \( t \) vervangen door \( t' = t - \Delta t \). Nog even ter controle: Wat is het effect van het vervangen van t door t' in de formule voor \( F_i(t) \)? Laten we het eens uitproberen en het resultaat even Q(t) noemen:

\( \mathrm{Q}(t) = F_i (t') \)

\( \mathrm{Q}(t) = F_i \left (t - \frac{\sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} }{ \mathrm{c} } \right ) \)
Dus Q(t) is een kracht die \( F_i \) met een vertraging van \( \frac{\sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} }{ \mathrm{c} } \) volgt, en dat is precies wat we hebben moeten. Dus gaat \( F_i(t) \) bij het vervangen van t door t' inderdaad in \( F_r(t) \) over.

Middels die substitutie zullen we hieronder via de nodige algebraïsche ingrepen een formule voor de geretardeerde gravitatie \( F_r(t) \) afleiden.

Maar dus eerst nog wat algebraïsche tovenarij :

\( t' = t - \frac{\sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} }{ \mathrm{c} } \)

\( \frac{\sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} }{ \mathrm{c} } = t - t' \)

\( \sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} = \mathrm{c} t - \mathrm{c} t' \)

\( \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2 = \mathrm{c}^2 t^2 - 2 \mathrm{c} t \mathrm{c} t' + \mathrm{c}^2 (t')^2 \)

\( \mathrm{d}^2 = \mathrm{c}^2 t^2 - 2 \mathrm{c} t \mathrm{c} t' \)

\( 2 \mathrm{c} t \mathrm{c} t' = \mathrm{c}^2 t^2 - \mathrm{d}^2 \)

\( \mathrm{c} t' = \frac{\mathrm{c}^2 t^2 - \mathrm{d}^2}{ 2 \mathrm{c} t } \)


Voer nu voor het gemak de nieuwe dimensieloze variabelen \( \tau = \frac{ \mathrm{c} t }{ \mathrm{d} } \) en \( \tau' = \frac{ \mathrm{c} t' }{ \mathrm{d} } \) in. (Waardoor het vervangen van t door t' neer komt op het vervangen van \( \tau = \frac{ \mathrm{c} t }{ \mathrm{d} } \) door \( \tau' = \frac{ \mathrm{c} t' }{ \mathrm{d} } \).) Dan hebben we:

\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m} \mathrm{d}}{ (\mathrm{c}^2 t^2 + \mathrm{d}^2)^{1,5}} \)

\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m} \mathrm{d}}{ ( \tau^2 \mathrm{d}^2 + \mathrm{d}^2)^{1,5}} \)

\( F_i(t) = \frac{2 \mathrm{G}}{ \mathrm{d}^3 } \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m} \mathrm{d}}{ ( \tau^2 + 1)^{1,5}} \)

\( F_i(t) = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{d}^2 } \cdot \frac{1}{ ( \tau^2 + 1)^{1,5}} \)


\( \mathrm{c} t' = \frac{\mathrm{c}^2 t^2 - \mathrm{d}^2}{ 2 \mathrm{c} t } \)

\( \tau' \mathrm{d} = \frac{\tau^2 \mathrm{d}^2 - \mathrm{d}^2}{ 2 \tau \mathrm{d} } \)

\( \tau' = \frac{\tau^2 - 1}{ 2 \tau } \)

\( (\tau')^2 = \frac{\tau^4 - 2 \tau^2 + 1}{ 4 \tau^2 } \)

\( (\tau')^2 + 1 = \frac{\tau^4 - 2 \tau^2 + 1 + 4 \tau^2}{ 4 \tau^2 } \)

\( (\tau')^2 + 1 = \frac{\tau^4 + 2 \tau^2 + 1 }{ 4 \tau^2 } \)

\( (\tau')^2 + 1 = \frac{(\tau^2 + 1)^2 }{ 4 \tau^2 } \)

\( (\tau')^2 + 1 = \left ( \frac{\tau^2 + 1 }{ 2 \tau} \right )^2\)

\( ((\tau')^2 + 1)^{1,5} = \left | \frac{\tau^2 + 1 }{ 2 \tau} \right |^3\)

\( \frac{1}{((\tau')^2 + 1)^{1,5}} = \left | \frac{ 2 \tau }{ \tau^2 + 1 } \right |^3\)


En dan komt er nu (via het vervangen van \( \tau \) door \( \tau' \)) voor de geretardeerde kracht \( F_r(t) \) op de zon:

\( F_r(t) = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{d}^2 } \cdot \left | \frac{ 2 \tau }{\tau^2 + 1} \right |^3 \)


De totale krachtstoot J op de zon wordt dan:

\( \mathrm{J} = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} F_r(t) \, dt \)

\( \mathrm{J} = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \left ( \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{d}^2 } \cdot \left | \frac{ 2 \tau }{\tau^2 + 1} \right |^3 \right ) \, d(\frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{c}}) \)

\( \mathrm{J} = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \left ( \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{c} \mathrm{d} } \cdot \left | \frac{ 2 \tau }{\tau^2 + 1} \right |^3 \right ) \, d \tau \)

\( \mathrm{J} = \frac{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{c} \mathrm{d} } \cdot \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \left | \frac{ 2 \tau }{\tau^2 + 1} \right |^3 \, d \tau \)

\( \mathrm{J} = \frac{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{c} \mathrm{d} } \cdot 4 \)

\( \mathrm{J} = \frac{ 8 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{c} \mathrm{d} } \)


Ik ga ervan uit dat er over het hele traject gerekend geen aanmerkelijke impuls wordt weg gestraald. Dat is een gebruikelijke aanname binnen de klassieke mechanica. En ook relativistische gezien is het onaannemelijk dat het passeren door twee fotonen van de zon gravitatiegolven van enige betekenis zou opwekken die aanmerkelijke impuls zouden kunnen wegvoeren. De veronderstelling van impulsbehoud tussen de begin- en de eindtoestand van de lichtbuiging (dus niet momentaan) lijkt mij dan ook legitiem. Als we er derhalve van uitgaan dat de weg gestraalde impuls verwaarloosbaar is vinden we voor de afbuiging \( \phi \) van de twee lichtdeeltjes wegens impulsbehoud tussen de begin- en eindtoestand dat:

\( 2 \cdot \mathrm{m} \mathrm{c} \sin(\phi) = \mathrm{J} \)

\( 2 \cdot \mathrm{m} \mathrm{c} \sin(\phi) = \frac{ 8 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{c} \mathrm{d} } \)

\( \sin(\phi) = \frac{ 4 \mathrm{G} \mathrm{M} }{ \mathrm{c}^2 \mathrm{d} } \)


Voor het berekenen van de juiste afbuiging van licht dat langs de zon scheert heb je de relativiteitstheorie dus niet nodig, de extra factor 2 van de relativistische waarde voor de afbuiging vind je ook door simpelweg rekening te houden met de retardatie van een klassieke gravitatie-werking.

Een bedenking, voor de berekening ga je ervan uit dat de fotonen zich op een rechte baan volgen. Op zich maak je daar wel een fout, maar dat zal een tweede orde effect zijn.
Het is een mooie berekening, maar het feit dat de einduitkomst correspondeert met ART betekent voor mij niet zoveel. Ik voel het eerder aan als een toeval. Maar dat is een persoonlijke mening. Er is voor mij te weinig link met wat ik weet uit ART over gravitatie.

Ook ik denk dat dit toeval is.
Je kunt ook "klassiek" de schwarzschildstraal berekenen en die klopt dan ook. Dat betekent niet dat de berekening deugt.

Met zulke kritiek kan ik niet veel. Ik heb geen dobbelstenen geworpen, maar berekeningen gemaakt. Eerder heb ik een vergelijkbare berekening gemaakt op basis van instantane klassieke gravitatie en daar kwam zoals te verwachten de helft van de juiste afbuiging uit. En dat resultaat stemt keurig overeen met klassieke berekeningen van anderen waar eveneens de helft van de juiste afbuiging uit komt. Dus ik denk dat de verwaarlozingen die ik hier maak (binnen het kader van de klassieke mechanica) geoorloofd zijn. Hier heb ik nu daarbij ook nog het feit in rekening gebracht dat de gravitatie-werking niet instantaan is maar zich met een snelheid c voortplant en het is daarom te verwachten dat je dan een andere waarde voor de afbuiging vindt die dichter bij de gemeten waarde ligt. En dat blijkt ook zo te zijn. Niet heel verrassend dus. Tenzij ik nog ergens een fout heb gemaakt, maar dan hoor ik graag waar dan wel.

Of iets "deugt" of niet is met betrekking tot natuurkundige theorieën een wat vreemde typering. Wat ik claim is dat je met de klassieke mechanica verder komt dan algemeen wordt aangenomen zodra je ook nog de eindige voortplantingssnelheid c van de gravitatie-werking in rekening brengt. Met de ART zal dat allicht niet kloppen, maar dat is ook niet wat ik beweer. De toetsing vind hier niet plaats aan de ART maar aan een gemeten lichtafbuiging die voorheen als exclusief relativistisch beschouwd werd. Mijn bedoeling was om na te gaan hoever je met pre-relativistische middelen kunt komen.

Professor Puntje schreef: ↑do 16 jan 2025, 17:35 Met zulke kritiek kan ik niet veel. Ik heb geen dobbelstenen geworpen, maar berekeningen gemaakt.

Klopt. Maar je gebruikt klassieke mechanica waar die niet meer geldig is, namelijk voor deeltjes met (nagenoeg) de lichtsnelheid.
Als dat geoorloofd zou zijn, dan hadden we de SRT en ART niet nodig.

Met alle respect voor jouw rekenwerk, maar als dit overeenkomt met wat de ART zegt, dan moet het op toeval berusten.

Xilvo schreef: ↑do 16 jan 2025, 17:58
Klopt. Maar je gebruikt klassieke mechanica waar die niet meer geldig is, namelijk voor deeltjes met (nagenoeg) de lichtsnelheid.
Als dat geoorloofd zou zijn, dan hadden we de SRT en ART niet nodig.

Dit is nou juist wat professor Puntje wil bewijzen en ik zie tot nu toe geen enkele serieuze kritiek op zijn rekenwerk.

Als je kijkt naar de formule die uitgekomen wordt

\( \sin(\phi) = \frac{ 4 \mathrm{G} \mathrm{M} }{ \mathrm{c}^2 \mathrm{d} } \)

Die zit redelijk logisch in mekaar. G en M in de teller, hoe harder de zon trekt aan het ligt hoe groter de afbuiging. De afbuiging is sterker bij een kleine d. En dan \(c^2\) in de noemer om het dimensieloos te maken. Ik denk dat er heel wat theorieën te verzinnen zijn om zoiets uit te komen.
Het gaat pas zijn als je meerdere fenomenen gaat kunnen voorspellen op een liefst zo simpel mogelijke manier dat de theorie in waarde gaat toenemen. Punt is dat er met de ART al een theorie is die bijna alles perfect voorspelt. Je gaat je theorie dus moeten verkopen volgens mij als een theorie die simpeler is in gebruik dan de ART en veel nauwkeurigen dan Newton en die van toepassing is op een veelheid aan fenomenen.

Aangezien in de wiskundige afleiding nergens gebruik wordt gemaakt van de aanname dat m zeer klein is en C groot., moet deze formule ook gelden voor trage zware voorwerpen. Iemand een idee wat de werkelijke gemeten afbuiging is van zo'n voorwerp?

vijv schreef: ↑do 16 jan 2025, 18:09

Xilvo schreef: ↑do 16 jan 2025, 17:58
Klopt. Maar je gebruikt klassieke mechanica waar die niet meer geldig is, namelijk voor deeltjes met (nagenoeg) de lichtsnelheid.
Als dat geoorloofd zou zijn, dan hadden we de SRT en ART niet nodig.

Dit is nou juist wat professor Puntje wil bewijzen en ik zie tot nu toe geen enkele serieuze kritiek op zijn rekenwerk.

Ik heb geen kritiek op het rekenwerk, ik heb niet elke stap bekeken maar het lijkt me zorgvuldig werk.

Verder betwijfel ik of PP wil aantonen dat SRT en ART overbodig zijn. Dat zou heel vreemd zijn.

vijv schreef: ↑do 16 jan 2025, 18:09

Xilvo schreef: ↑do 16 jan 2025, 17:58
Klopt. Maar je gebruikt klassieke mechanica waar die niet meer geldig is, namelijk voor deeltjes met (nagenoeg) de lichtsnelheid.
Als dat geoorloofd zou zijn, dan hadden we de SRT en ART niet nodig.

Dit is nou juist wat professor Puntje wil bewijzen en ik zie tot nu toe geen enkele serieuze kritiek op zijn rekenwerk.

Ik heb geen kritiek op het rekenwerk. De berekeningen zijn op het eerste gezicht juist, maar dat zegt niks. Ik heb kritiek op de achterliggende fysica in lijn met wat Xilvo al aangaf.

vijv schreef: ↑do 16 jan 2025, 18:12 Aangezien in de wiskundige afleiding nergens gebruik wordt gemaakt van de aanname dat m zeer klein is en C groot., moet deze formule ook gelden voor trage zware voorwerpen. Iemand een idee wat de werkelijke gemeten afbuiging is van zo'n voorwerp?

Er is wel gebruik gemaakt van het feit dat de snelheid van het foton / deeltje dezelfde is als de propagatiesnelheid van de zwaartekracht. Of die snelheid dan in absolute waarde groot of klein is, maakt niet veel uit.

wnvl1 schreef: ↑do 16 jan 2025, 18:11 Als je kijkt naar de formule die uitgekomen wordt

\( \sin(\phi) = \frac{ 4 \mathrm{G} \mathrm{M} }{ \mathrm{c}^2 \mathrm{d} } \)

Die zit redelijk logisch in mekaar. G en M in de teller, hoe harder de zon trekt aan het ligt hoe groter de afbuiging. De afbuiging is sterker bij een kleine d. En dan \(c^2\) in de noemer om het dimensieloos te maken. Ik denk dat er heel wat theorieën te verzinnen zijn om zoiets uit te komen.
Het gaat pas zijn als je meerdere fenomenen gaat kunnen voorspellen op een liefst zo simpel mogelijke manier dat de theorie in waarde gaat toenemen. Punt is dat er met de ART al een theorie is die bijna alles perfect voorspelt. Je gaat je theorie dus moeten verkopen volgens mij als een theorie die simpeler is in gebruik dan de ART en veel nauwkeurigen dan Newton en die van toepassing is op een veelheid aan fenomenen.

Zoals ik al schreef gaat het er niet om de ART te vervangen, maar om te laten zien dat een semi-klassieke mechanica een groter toepassingsgebied heeft dan algemeen wordt aangenomen. Wie dat laatste wil weerleggen zal fouten in mijn afleiding moeten aanwijzen.

De massa van de lichtdeeltjes wordt heel klein verondersteld zodat de zon gedurende het passeren van die deeltjes nauwelijks van haar plaats komt. Dat laatste gegeven is in de afleiding gebruikt.

De potentiële energie van een deeltje met massa \(m\) op afstand \(r\) van een massa \(M\) is \(E_p=-G \frac{m M}{r}\)

De kinetische energie die het deeltje moet hebben om oneindig ver te kunnen vliegen is \(E_k=\frac{1}{2} m v^2=G \frac{m M}{r}\)
De ontsnappingssnelheid is \(v_o=\sqrt{\frac{2GM}{r}}\)

Kies voor de ontsnappingssnelheid \(c\) en je vindt voor de schwarzschildstraal \(r_s=\frac{2 G M}{c^2}\)

Zo staat het zelfs op de Nederlands Wikipedia.

De berekening klopt. Het resultaat is correct. Maar er deugt niets van, want het model klopt niet. Zo geldt \(E_k=\frac{1}{2} m v^2\) helemaal niet meer bij snelheden in de buurt van de lichtsnelheid.

Dat is nog steeds dezelfde moralistische misvatting alsof theorieën al dan niet kunnen deugen. Voorspellingen worden gedaan vanuit zekere theoretische kaders en dat die kaders vanuit het perspectief van weer andere theorieën verkeerd zijn doet niets ter zake. Wat uit een zekere theorie volgt volgt uit een zekere theorie. Dus als je de schwarzschildradius ook klassiek kunt berekenen, dan kun je de schwarzschildradius ook klassiek berekenen. Zo simpel is het. Mijn eigen berekening kan een vergelijkbaar geval zijn, en daar is niets mis mee.