sciencetalk

Een patient krijgt een geneesmiddel toegediend door een injectie in een spier. De concentratie in het bloed bereikt na enige tijd een max. en neemt daarna geleidelijk weer af.

Deze concentratie C in mg/liter voldoet vrij goed aan het voorschrift

C=(8t)/(t²+4)

met 0<t<24 en t in uren.

Neem D=(1/C) en bereken dD/dt

Laat met een berekening zien dat D een minimum heeft op datzelfde tijdstip, waarop C een maximum heeft.

Wie kan mij hiermee helpen??

Maximum C:

afgeleide van C is te bepalen met de kettingregel:

C'=8/(t^2+4) - 16*t^2/(t^2+4)^2

Nu afgeleide naar nul stellen:

C'=0, C' herschrijven: C'=(64-16*t^2)/(t^2+4)^2

64-16*t^2=0

t=2

Manimum D:

D=(t^2+4)/(8*t)

dD/dt=D'=1/8-0.5/t^2

D'=0, t=2

Hoe kom je dan aan die kettingregel? Volgens mij heb ik dat nog niet gehad ofzo...en hoe berekende je dat andere D=1/c??

Definities:

De afgeleide van de functie f(x) noem ik f'(x).

Ik heb een functie Z(x) = f(x) * g(x)

Dan zegt de Kettingregel: Z'(x) = [f(x) * g(x)]' = [f'(x) * g(x)] + [f(x) * g'(x)]

Voorbeeld: f(x)=x en g(x)=x² (flauw voorbeeld natuurlijk, maar hopelijk wel inzichtelijk). Dan is dus

Z(x)=f(x)*g(x)=x*x²=x³

En dus:

Z'(x) = [f(x) * g(x)]' = [f'(x) * g(x)] + [f(x) * g'(x)] = [x*2x]+[1*x²] = 3x²

Dat klopt ook met wat je al wist:

[x³]'=3x²