Goniometrische integraal
Geplaatst: wo 30 aug 2006, 09:31
Toon aan:
\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}\theta d\theta=\frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)}\frac{\pi}{2}\)
waarbij n een natuurlijk getal is.Te bewijzen:kotje schreef:Toon aan:
\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}\theta d\theta=\frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)}\frac{\pi}{2}\)waarbij n een natuurlijk getal is.
\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}(\theta) d\theta=\frac{\prod_{i=1}^n (2i-1)}{\prod_{i=2}^n (2i)}\frac{\pi}{2}\)
Bewijs via volledige inductie:Stap 1: Controleer voor n=1.
\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2}(\theta) d\theta= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(2 \theta) d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2 \theta)}{4} \right]_0^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \frac{\pi}{2} = \frac{\prod_{i=1}^1 (2i-1)}{\prod_{i=2}^1 (2i)}\frac{\pi}{2}\)
Klopt dus voor n=1. Stap 2: Stel dat het klopt voor n, klopt het dan ook voor n+1?
\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta = \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n+2}(\theta) d\theta = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2(\theta) \sin^{2n}(\theta) d\theta =\int_0^\frac{\pi}{2} (1-\cos^2(\theta)) \sin^{2n}(\theta) d\theta\)
\( = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta - \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(\theta) \sin^{2n}(\theta) d\theta = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta - \int_0^\frac{\pi}{2} (\cos(\theta))(\cos(\theta) \sin^{2n}(\theta)) d\theta\)
Partieele integratie:\(= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta - \left( \left[ \cos(\theta) \frac{\sin^{2 n+1}(\theta)}{2 n + 1} \right]_0^\frac{\pi}{2} - \int_0^\frac{\pi}{2} -\sin(\theta) \frac{\sin^{2 n+1}(\theta)}{2 n + 1} d\theta \right)\)
\(= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta - \left[ \cos(\theta) \frac{\sin^{2 n+1}(\theta)}{2 n + 1} \right]_0^\frac{\pi}{2} - \frac{ 1}{2 n + 1} \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta\)
\(= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta - \frac{ 1}{2 n + 1} \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta\)
Gelijke integralen samenvoegen:\((1 + \frac{1}{2n + 1}) \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta\)
omdat:\((1 + \frac{1}{2n + 1}) \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta = (\frac{2 n + 1}{2n + 1} + \frac{1}{2n + 1}) \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta = \frac{2 n + 2}{2n + 1} \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta\)
geldt dus:\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta = \frac{2n + 1}{2n + 2} \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta = \frac{(2(n+1)-1)}{2(n+1)} \frac{\prod_{i=1}^n (2i-1)}{\prod_{i=2}^n (2i)}\frac{\pi}{2}\)
\(= \frac{\prod_{i=1}^{n+1} (2i-1)}{\prod_{i=2}^{n+1} (2i)}\frac{\pi}{2}\)
Klopt dus voor n+1 als n klopt. Kortom:\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}(\theta) d\theta=\frac{\prod_{i=1}^n (2i-1)}{\prod_{i=2}^n (2i)}\frac{\pi}{2}\)
is bewezen via volledige inductie (appeltje eitje, niet?
).