sciencetalk

Ik heb een vraagje:

Waarom moet je de kans met de uitkomst vermengvuldigen als je de verwachtingswaarde wilt weten?

Bijvoorbeeld:

De kans op stochast X..

p(X=1) = 1/6

p(X=2) = 1/6

etc. t/m p(X=6) = 1/6

De verwachtingswaarde is dan (1*1/6)+(2*1/6)+.......(6*1/6) = ....

Je moet de verwachtingswaarde E(X) zien als een soort gewogen gemiddelde. Om een verwachting te bepalen weeg je namelijk alle mogelijke uitkomsten mee, maar niet allemaal even zwaar, want sommige uitkomsten hebben een hogere waarschijnlijkheid om op te treden dan andere.

In jouw voorbeeld, dat is bijvoorbeeld het geval van een dobbelsteen, zijn er 6 uitkomsten met allemaal dezelfde kans (1/6). In dat geval ben je eigenlijk het gewoon het gemiddelde aan het nemen van alle uitkomsten (d.w.z. een gewogen gemiddelde met voor alle waarden hetzelfde gewicht), de verwachtingswaarde wordt dan 3,5. Het lijkt vreemd dat de verwachtingswaarde zelf een waarde is die helemaal niet kan optreden, maar je moet het zo zien: als je een experiment heel vaak herhaalt, wat verwacht je dan dat de gemiddelde uitkomst zal zijn. Bij een dobbelsteen is dat 3,5 (als je 600 keer gooit, is het bijvoorbeeld redelijk voor de hand liggend dat je 100 keer 1 gooit, 100 keer 2, enzovoort).

Door aan "heel vaak herhalen, gemiddelde uitkomst" te denken begrijp je misschien ook waarom je iedere uitkomst moet vermenigvuldigen met zijn kans. Stel dat er voor X drie uitkomsten mogelijk zijn (die noem ik even u1, u2 en u3) met kans 10%, 20% en 70%. Als je nu duizend keer gooit dan is het niet waarschijnlijk dat de gemiddelde uitkomst (u1+u2+u3)/3 zal zijn. Want u1, u2 en u3 zullen vast niet alledrie even vaak voorkomen. Als je duizend keer gooit is het waarschijnlijker dat u1 100 keer optreedt (10% van de gevallen), u2 200 keer (20%) en u3 700 keer. De verwachtingswaarde, oftewel de verwachte gemiddelde uitkomst, is dus u1·p1+u2·p2+u3·p3 = 0.1·u1+0.2·u2+0.7·u3

Hartstikke bedankt!! Dat is een hele duidelijke uitleg, ik snap het nu helemaal!