sciencetalk

Ik zoek alle oplossingen van f(x-y) = f(x).f(y) + g(x).g(y)

Ik weet dat cos(x-y) = cos(x).cos(y) + sin(x).sin(y)

Als f(x) = c, dan is g(x) = +/- {c² - c}

Ik wil weten of dit alle oplossingen zijn.

Ik heb het volgende gedaan. Als y=x dan is f(0) = f(x)² + g(x)².

Hoe kan ik nu aantonen dat f(0)=1?

en kan ik dan concluderen dat f(x) = cos(x) en g(x) = sin(x)?

Edit Moderator (Elmo): ongewenst signature verwijderd.

Dat ziet er niet zo eenvoudig uit.

Een eerste stapje:

Ik zie dat f een even functie moet zijn.

Vervang y door x en x door y, dan is

f(y-x) = f(y).f(x) + g(y).g(x) = f(x).f(y) + g(x).g(y) = f(x-y).

Dus, met y=0 staat er f(-x) = f(x).

f(x).f(y) + g(x).g(y) = f(x-y) = f(-x+y) = f(-x).f(-y) + g(-x).g(-y) = f(x).f(y) + g(-x).g(-y)

dus is g(x).g(y) = g(-x).g(-y).

en g(x).g(0) = g(-x).g(0).

Dan is g(x) = g(-x) òf g(0) = 0.

g(x).g(x) = g(-x).g(-x),

dus (ik neem aan dat g continu moet zijn) g(x) = g(-x) of g(x) = -g(-x) voor alle x.

Als g(x) = g(-x), dan is

f(y+x) = f(y).f(-x) + g(y).g(-x) = f(y).f(x) + g(y).g(x) = f(y-x)

Kies a,b . Dan is f(a) = f(b), want kies maar x = (a-b)/2 en y=(a+b)/2.

Dus f is constant en dus g ook, maar die oplossing hadden we al.

Dus g(x) = -g(x) voor alle x.

f(0) = f(0).f(0) + g(0).g(0) = f(0)^2.

Dus f(0) = 0 of f(0) = 1.

f(0) = f(x).f(x) + g(x).g(x).

Als f(0) = 0, dan is f(x) = g(x) = 0.

We veronderstellen dat f en g niet constant zijn, dus is f(0) = 1.

Uit f(x)^2+g(x)^2 = 1 volgt niet zonder meer dat f(x) = cos(x) en g(x) = sin(x).