product cosinussen
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 18:23
Vind
\(\cos{x\frac{2}}\cos{x\frac{4}}...\cos{2\frac{x^n}}\)
voor \(\nrightarrow+\infty\)
, als we weten dat \(x=\pi\frac{2}\)
sciencetalk
product cosinussen
1 van 2
Re: product cosinussen
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 18:29
wat is de bedoeling?
Re: product cosinussen
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 18:31
Ik heb het gevonden 
Re: product cosinussen
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 18:40
Kan iemand dit tegoei in Latex zetten ?
Vind cos(x/2).cos(x/4)...cos(x/2^n) voor n gaande naar +oneindig, als je weet dat x=pi/2.
Peterpan, zeg het eens
Vind cos(x/2).cos(x/4)...cos(x/2^n) voor n gaande naar +oneindig, als je weet dat x=pi/2.
Peterpan, zeg het eens
Re: product cosinussen
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 18:47
Vind
oftewel
(klik om de code te zien! jij gebruikte de frac in ieder geval verkeerd. x/2 is frac{x}{2})
\(\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}\times\cos{\left(\frac{x}{4}\right)}\times\cdots\times\cos{\left(\frac{x}{2^n}\right)}\)
voor \(\nrightarrow\infty\)
, waarbij \(x=\frac{\pi}{2}\)
oftewel
\(\prod_{n=1}^\infty \cos{\left(\frac{x}{2^n}\right)} \)
(klik om de code te zien! jij gebruikte de frac in ieder geval verkeerd. x/2 is frac{x}{2})
Re: product cosinussen
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 19:40
Dus de echte vraag is:
\(\prod_{n=1}^\infty \cos{\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)} \)
Re: product cosinussen
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 19:51
Hint:
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a \Leftrightarrow \cos a = \frac{{\sin 2a}}{{2\sin a}}\)
Re: product cosinussen
Geplaatst: vr 05 jan 2007, 23:46
[OFFTOPIC]Ik heb het gevonden
Hahaha
[/OFFTOPIC]
Re: product cosinussen
Geplaatst: za 06 jan 2007, 00:58
TD! schreef:Hint:
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a \Leftrightarrow \cos a = \frac{{\sin 2a}}{{2\sin a}}\)
Idd, die factor
\(\frac{1}{2}\)
suggereert dat. Het antwoord is dan natuurlijk \(\frac{1}{2}\)
.Re: product cosinussen
Geplaatst: za 06 jan 2007, 01:04
Kun je hier nog wat mee:
\(\cos(\frac{\pi}{2^{n+1}}) = \frac12 \sqrt{\underbrace{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}_{n\times}}\)
Re: product cosinussen
Geplaatst: za 06 jan 2007, 02:35
Hoe kom je eraan ?
Re: product cosinussen
Geplaatst: za 06 jan 2007, 09:08
\(\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\)
\(\Rightarrow \cos(2x)=\cos^2(x)-(1-\cos^2(x))\)
\(\Rightarrow \cos(2x)=2\cos^2(x)-1\)
\(\Rightarrow \frac{\cos(2x)+1}{2} = \cos^2(x)\)
\(\Rightarrow \cos(x) = \sqrt{\frac{\cos(2x)+1}{2}}\)
Verder geldt \(\cos(\frac{\pi}4)=\frac12\sqrt{2}\)
en dat geeft met bovenstaande:\(\cos(x) = \frac12\sqrt{\alpha} \Longrightarrow \cos(\frac{x}2) = \sqrt{\frac{\frac12\sqrt{\alpha}+1}{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{\alpha}+2}4}=\frac12\sqrt{\sqrt{\alpha}+2}\)
De limiet uit de OP is overigens \(\frac{2}{\pi}\)
(zie o.a. hier bij nr 64).Re: product cosinussen
Geplaatst: za 06 jan 2007, 10:39
Wat is
\(\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \left(2 - \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}}_{n\times}\right)\)
Re: product cosinussen
Geplaatst: za 06 jan 2007, 18:10
PeterPan schreef:Wat is
\(\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \left(2 - \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}}_{n\times}\right)\)
Onbepaalde vorm? Want:
\(\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \left(2 - \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}}_{n\times}\right)=\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \cdot \left(2-\lim_{n \rightarrow \infty} \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}}_{n\times}\right)\right)=\)
\(\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \cdot(2-2)=+\infty\cdot 0\)
?Re: product cosinussen
Geplaatst: za 06 jan 2007, 18:36
Ja, kijk maar:Rogier schreef:Kun je hier nog wat mee:
\(\cos(\frac{\pi}{2^{n+1}}) = \frac12 \sqrt{\underbrace{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}_{n\times}}\)
\(\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \left(2 - \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2}}}}_{n\times}\right)\)
\( = \lim_{n \rightarrow \infty} 4^n \left(2 -2\cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})\right) = ?\)