Nu nog dat bewijzen.
Hoe je zo iets kunt aanpakken lijkt me wel leerzaam. Daarom een (gedeeltelijk) bewijs.
Geval 1. -1 < a < 0.
\(x_0 = 0\)
\(x_{n+1} = \frac{a}{1-a+x_n}\)
Ik gebruik hier liever de letter a dan de letter x, omdat x hier een gekozen constante is.
Ik wil aantonen dat
\(\lim_{n \to \infty} x_n = a\)
Schrijf
\(x_n = a + y_n\)
Dan is
\(y_0 = -a\)
\(y_{n+1} = \frac{-a y_n}{1+y_n}\)
We gingen er van uit dat 0 < -a < 1, dus is
\(y_n > 0\)
voor alle n. (Inductief is dat duidelijk).
Dan is
\( 0 < y_{n+1} = \frac{-a y_n}{1+y_n} < (-a)y_n < (-a)^2 y_{n-1} < \cdots < (-a)^{n+1}\)
Hieruit volgt onmiddellijk met de insluitingsstelling dat
\(\lim_{n \to \infty} y_n = o\)
ofwel
\(\lim_{n \to \infty} x_n = a\)
.
Geval 2. 0 < a < 1.
We tekenen de grafiek van
\(y = \frac{a}{1-a+x}\)
De asymptoten zijn x=1-a en y=0.
We zien aan de grafiek dat
\(x_n\)
naar
\(a\)
convergeert.
?