Delta-Epsilon methode bij limieten

[Klaas-Jan]

Kan iemand mij een uitleg geven hoe je limieten kunt bewijzen met behulp van de Delta-Epsilon methode. Ik heb daar vandaag les over gehad, maar ik vind het allemaal zo ontzettend vaag, terwijl ik het wel graag meteen wil begrijpen...

[raintjah]

Om het maar heel abstract uit te leggen:

Je toont aan dat je de afstand tussen je functie (of rij) en zijn limiet willekeurige klein kunt maken, door de index voldoende groot te nemen.

EDIT:

kijk ook hier voor voorbeelden.

[Klaas-Jan]

Is er een stappenplan om zo'n bewijs te geven, want ik begrijp niet in welke richting je moet gaan zoeken, als je me begrijpt...

[raintjah]

Typisch begint zo'n bewijs altijd met het te bewijzen uit te schrijven. Vaak is dat in deze trend:

\(\forall \epsilon > 0 \in \rr^{+}, \exists n_0 \in N, \forall n \in N: n>n_0 \Rightarrow |x_n-a|<\epsilon\)

Hierin is a de limiet van de rij xn en is 'n' de index.

Daarna volgt het te bewijzen. Dat begint typisch met het zinnetje:

"Kies een

\(\epsilon > 0\)

willekeurig."

Daarna ga je het te bewijzen wat vereenvoudigen of afschatten.

[Klaas-Jan]

Oke, zou je een voorbeeld uitkunnen werken... Dan zie ik het denk ik nog iets beter...

Lim(x ->1) van (1/(x+1)) = (1/2)

Dat is zeer duidelijk, maar ik begrijp niet goed, hoe je zoiets netjes kunt uitwerken met deze methode... Als je het gedaan hebt zal ik kijken of ik het kan volgen... Alvast bedankt!!

[raintjah]

TB:

\(\forall \epsilon > 0 \in \rr, \exists n_0 \in N, \forall n \in N: n>n_0 \Rightarrow |f(x_n)-\frac{1}{2}|<\epsilon\)

Kies een willekeurige rij

\(x_n\)

die naar 1 convergeert, en een willekeurige

\(\epsilon\)

groter dan nul.

Omdat

\(x_n\)

naar 1 convergeert, bestaat er een

\(n_0\)

, zodat voor alle

\(n > n_0\)

geldt dat

\(|x_n-1|<\epsilon\)

.

Neem nu

\(n > n_0\)

.

We moeten bewijzen dat:

\(|f(x_n)-\frac{1}{2}|<\epsilon\)

, dus dat

\(|\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{2}|<\epsilon\)

We weten dat:

\(|\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{2}| = |\frac{1-x_n}{2(x_n+1)}| = |\frac{x_n-1}{2(x_n+1)}| < |\frac{\epsilon}{2(x_n+1)}|\)

Hieruit volgt dat:

\(|\frac{\epsilon}{2(x_n+1)}| < \epsilon\)

en dus dat

\(|f(x_n)-\frac{1}{2}|<\epsilon\)

.

Voor dat je dit aanneemt, wacht je best nog even op bevestiging van andere forumleden.

[Rogier]

Dat met n₀ en een voldoende grote index nemen geldt meer voor limieten van rijen.

Voor een limiet zoals hier, dus lim_x[pijltje]1, is het zoiets:

\(\lim_{x\rightarrow a}=L \Longleftrightarrow \forall \epsilon>0:\exists \delta>0: |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|\leq\epsilon\)

Letterlijk: "voor iedere epsilon is er een delta zodat voor iedere x die minder dan delta van a vandaan ligt, f(x) minder dan epsilon van de limietwaarde L vandaan ligt."

Wat je in de praktijk vaak doet is delta uit epsilon afleiden, als dat kan (dus als er blijkbaar voor iedere epsilon zo'n delta is) dan geldt de limiet.

[Andy]

...

\(|x_n-1|<\epsilon\)

Hieruit volgt dat:

\(|\frac{\epsilon}{2(x_n+1)}| < \epsilon\)

en dus dat

\(|f(x_n)-\frac{1}{2}|<\epsilon\)

.

Dit is niet helemaal correct... misschien wat muggezifterij, maar beter zou zijn

\(|x_n-1|<\delta\)

\(|\frac{\delta}{2(x_n+1)}| < \epsilon\)

en dus dat

\(|f(x_n)-\frac{1}{2}|<\epsilon\)

.

Ge stelt een epsilon voorop, pakt 0.00001 (bvb, maar eigenlijk gaat ge 'oneindig klein'), dan kunt ge altijd een delta vinden zodat

\(|\frac{\delta}{2(x_n+1)}| < 0.00001\)

'tkomt erop neer dat die delta en epsilon anders zijn en om geen verwarring te scheppen ge best een andere letter neemt.

Voor de rest geeft dat voorbeeld wel goed aan hoe het juist werkt. Meestal komt het erop neer om wat te foefelen zodat het uitkomt. Der bestaat niet echt een basismethode om der naartoe te gaan.

[raintjah]

Ik had inderdaad met een delta moeten werken (delta-epsilob..)

Maar is het wel fout als je maar met één van de twee werkt? Ik denk van niet eigenlijk. Je kan ze toch beide kleiner krijgen dan één bepaald getal, ljikt me.

[Donvanelli]

...

\(|x_n-1|<\epsilon\)

Hieruit volgt dat:

\(|\frac{\epsilon}{2(x_n+1)}| < \epsilon\)

en dus dat

\(|f(x_n)-\frac{1}{2}|<\epsilon\)

.

Dit is niet helemaal correct... misschien wat muggezifterij, maar beter zou zijn

\(|x_n-1|<\delta\)

\(|\frac{\delta}{2(x_n+1)}| < \epsilon\)

en dus dat

\(|f(x_n)-\frac{1}{2}|<\epsilon\)

.

Ge stelt een epsilon voorop, pakt 0.00001 (bvb, maar eigenlijk gaat ge 'oneindig klein'), dan kunt ge altijd een delta vinden zodat

\(|\frac{\delta}{2(x_n+1)}| < 0.00001\)

'tkomt erop neer dat die delta en epsilon anders zijn en om geen verwarring te scheppen ge best een andere letter neemt.

Voor de rest geeft dat voorbeeld wel goed aan hoe het juist werkt. Meestal komt het erop neer om wat te foefelen zodat het uitkomt. Der bestaat niet echt een basismethode om der naartoe te gaan.

en als je een term

\(x_{i}=-1\)

hebt?.. Je moet die

\(x_{n}\)

eerst afschatten.

[raintjah]

Bovenaan in mijn bewijs zeg ik: kies een n > n₀. x_n zal daar dus zeker groter zijn dan -1.

[TD]

Zie ook deze topic, daar zie je hoe je teller en noemer kan afschatten.