Limiet: van f(x,y)

[zijtjeszotjes]

heey ik heb hier een limiet waarvan ik niet zeker weet dat die bestaat. In ieder geval, het punt (1,1) zit in het domein van de functie.

limiet f(x,y)=cos(Wortel(|xy|-1))

(x,y)->(1,1)

ik vermoed dat de limiet is: 1. Ik probeerde met de epslion-delta definitie:

|f(x,y)-f(1,1)|=cos(Wortel(|xy|-1))-1| <=cos(Wortel(|xy|-1))+1<=2

want: cos(Wortel(|xy|-1)) <=1

Maar:

geldt nu 2<=|wortel((x-1)²+(y-1)²)|<delta ? in dit geval kunnen we |f(x,y)-f(1,1)| willekeurig klein maken zodat de gevraagde limiet bestaat.

Als de limiet toch niet bestaat, heeft iemand wel een tegenvoorbeeld?

[physicalattraction]

De functie is continu en gedefinieerd in

\((x,y)=(1,1)\)

, dus kun je eenvoudig stellen

\(\lim_{(x,y)\rightarrow(1,1)} f(x,y) = f(1,1)\)

.

[TD]

Kijk even naar de analoge limiet in één variabele (zonder de cosinus):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {\left| x \right| - 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {x - 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt x \)

Die limiet bestaat wel (en is gelijk aan 0), maar de limiet is enkel zinnig als je van rechts komt.

Voor negatieve getallen bestaat de vierkantswortel immers niet, dus de linkerlimiet is onzinnig.

[zijtjeszotjes]

De functie is continu en gedefinieerd in

\((x,y)=(1,1)\)

, dus kun je eenvoudig stellen

\(\lim_{(x,y)\rightarrow(1,1)} f(x,y) = f(1,1)\)

.

ik was bang dat die dus geisoleerd was.. of dat er een pad bestaat die niet dezelfde limiet levert.

bijv

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {\left| x \right| - 1}\)

is gelijk aan de limiet als je van rechts naar 1 gaat. dus 1 <--- (per definitie )

.

Maar in een vlak, twijfelde ik dus een beetje.