differentiaalvergelijkingen - contracties

[Saraatje]

\($Ik weet \niet goed hoe je werkt met contracties. Stel ik heb een di\fferentiaalvergelijk\ing $dy/dx=f(x,y) $met $y(x_0)=y_0$. $f$ is conti\nu \in $x$ en $y$ en $f$ is Lips\chitzconti\nu \in $y$ met cons\tante $L$.Laat afbeeld\ing $F$ gegeven op de ruimte $C^0(I)$ van conti\nue functies $u:I \rightarrow R$. $I=[x_0,M]$[Fu(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(s,u(s))ds]Laat voor $\alpha >= 0$ de no\rm $||\cdot||_{\alpha}$ gegeven zijn op $C^0(I)$[||u||_{\alpha}=\max_{x\in I}|u(x)e^{-\alpha x}|, u\in C^0(I)]Wat is dan een ges\chikte waarde voor $\alpha$ zodat F een contractie is t.o.v. de no\rm $|| \cdot||_{\alpha}$??En heeft deze maar een oplos\sing of meer?\)

[PeterPan]

Met f is continu in x en y bedoel je neem ik aan dat f continu is op zijn domein;

dus niet dat f continu is in elke coördinaat afzonderlijk, hetgeen heel wat anders is.

Bedoel je met f is Lipschitzcontinu in y met constante L dat

|f(x,y)-f(x,v)| < L|y-v| voor alle y,v en x?

[Saraatje]

Ja inderdaad, f is continu op zijn domein.

Ook Lipschitz-continu klopt, dus d(F(u),F(v)) <= L d(u,v) Voor alle u,v

[PeterPan]

Je moet aantonen dat er een getal k bestaat met 0<k<1 zodat

\(|F(u)-F(v)| < k ||u(x)-v(x)||_{\alpha}\)

voor alle continue functies u en v op I.

Dus je wilt dat

\(|y_0+\int_{x_0}^x f(s,u(s))ds - y_0 - \int_{x_0}^x f(s,v(s))ds| < k \max_{x\in I}|(u(x)-v(x))e^{-\alpha x}|\)

ofwel dat

\(|\int_{x_0}^x f(s,u(s)) - f(s,v(s))ds| < k \max_{x\in I}|(u(x)-v(x)e^{-\alpha x}|\)

Nu is vanwege de Lipschitzcontinuiteit van f in y

\(|\int_{x_0}^x f(s,u(s) - f(s,v(s))ds| \leq \int_{x_0}^x |f(s,u(s)) - f(s,v(s))|ds \leq \int_{x_0}^x L |u(s)-v(s)| ds\)

Er is dus sprake van een contractie als er een k bestaat met 0<k<1 zo dat

\(\int_{x_0}^x |u(s)-v(s)| ds < \frac{k}{L} \max_{x\in I}|(u(x)-v(x)e^{-\alpha x}|\)

De waarde van

\(\alpha\)

zal sterk afhangen van de functies u en v die je kiest. Stijgt het verschil u(x)-v(x) exponentieel dan zul je alpha groot moeten kiezen.

[Saraatje]

Merci, volgens mij begrijp ik het, maar ik ga het ook even zelf doen natuurlijk... [rr]

[Saraatje]

Ok, ik begrijp het, duizendmaal dank! Maar hoe laat ik zien dat een afbeelding een contractie is, wanneer deze afbeelding 'opgesplitst' is? Bijvoorbeeld:

\([x \rightarrow \alpha f(x), x\geq 0 ]waar $f(x)$ mono\toon stijg\end en begrensd op $[0,\infty)$ en $f(x)=xh(x)$ en $h(x)\in C^1$ is een positieve, strikt dal\ende functie op $[0,\infty)$ met $h(0)=1$ en $0<\alpha<1$\)

Enig idee?

[PeterPan]

Zeg

\(F: x \mapsto \alpha f(x)\)

Dan moet je laten zien dat er een k bestaat met 0<k<1 zo dat

\(|F(x) - F(y)| < k|x - y| \mbox{ voor } x, y \geq 0\)

Dus dat

\(|\alpha xh(x) - \alpha yh(y)| < k|x - y|\)

Kies

\(k = \alpha\)

We willen nu aantonen dat

\(|xh(x) - yh(y)| < |x - y|\)

ofwel, dat voor x [rr] y

\(\left|\frac{xh(x) - yh(y)}{x-y}\right| < 1\)

Nu is

\(x \mapsto f(x) (= x \mapsto xh(x))\)

monotoon stijgend (dus differentiequotient altijd positief of 0), dus is het voldoende aan te tonen dat voor x > y

\(xh(x) - yh(y) < x - y\)

Daat h strikt dalend is met maximum h(0)=1, is voor x > y

\(xh(x) - yh(y) < xh(y) - yh(y) = (x-y)h(y) \leq x - y\)

hetgeen aan te tonen was.

[Saraatje]

Er is dus sprake van een contractie als er een k bestaat met 0<k<1 zo dat

\(\int_{x_0}^x |u(s)-v(s)| ds < \frac{k}{L} \max_{x\in I}|(u(x)-v(x)e^{-\alpha x}|\)

Waarom volgt uit:

\(|\int_{x_0}^x f(s,u(s)) - f(s,v(s))ds| < k \max_{x\in I}|(u(x)-v(x)e^{-\alpha x}|\)

en

\(\int_{x_0}^x |f(s,u(s)) - f(s,v(s))|ds \leq \int_{x_0}^x L |u(s)-v(s)| ds\)

dat

\(\int_{x_0}^x |u(s)-v(s)| ds < \frac{k}{L} \max_{x\in I}|(u(x)-v(x)e^{-\alpha x}|\)

Je kunt de twee ongelijkheiden toch niet zomaar samenvoegen? Of is het vanwege het verschil in ongelijkheid en strikte ongelijkheid.