sciencetalk

Een goedenmorgen, ik zoek het volgende:

Stel f is een functie op R³ waarvan alle partiele afgeleiden van orde 2 of lager bestaan. Stel

\(h(x,y)=f(\log(y),\cos(xy),x+y^2)\)

de vraag is: druk

\( \frac{d^2h}{dydx}\)

in termen van de 1e en 2e orde afgeleiden van f.

Mijn antwoord was zo:

stel

\( u=\log(y), v=\cos(xy) \)

,

\( w=x+y^2.\)

dan volgt:

\( h(x,y)=f(u,v,w). \)

ik reken eerst

\( \frac{dh}{dx}\)

uit:

\( \frac{dh}{dx} =-\frac{df}{du}y\sin(xy)+\frac{df}{dv}\)

het antwoord op de vraag is dan:

\( \frac{d^2h}{dydx}= \frac{d^2f}{dydx} =\frac{d}{dy}[-\frac{df}{du}y\sin(xy)+\frac{df}{dv}]\)

en dit is gelijk aan:

\(-\frac{d^2f}{dydu}y\sin(xy)-\frac{df}{du}\sin(xy)-\frac{df}{dyu}y\cos(xy)+\frac{d^2f}{dydv}\)

is dit waar? zo niet, wat is dan het goede antwoord?!

bedankt

Je maakt geen onderscheid tussen partiële en totale differentialen.

Het is een heel geschrijf, dus doe ik het maar voor een deel.

Ik zou het zo zeggen:

\(dh = df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz\)

dan is

\(\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{d(\log(y))}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{d\cos(xy)}{dx} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{d(x+y^2)}{dx} =\)

\( -\frac{\partial f}{\partial y}y\sin(xy) + \frac{\partial f}{\partial z}\)

Dit willen we naar y differentiëren.

Daarvoor moeten we de productregel toepassen.

\(\frac{dh^2}{dydx} = (\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\frac{d(\log(y))}{dy} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\frac{d(\cos(xy))}{dy} + \)

\(\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}\frac{d(x+y^2)}{dy}).(-y\sin(xy)) + \frac{\partial f}{\partial y}(-\sin(xy)-y^2\cos(xy)) + \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}\frac{d(\log(y))}{dy} + \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}\frac{d\cos(xy)}{dy} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\frac{d(x+y^2)}{dy}\)

PeterPan schreef:Je maakt geen onderscheid tussen partiële en totale differentialen.

Het is een heel geschrijf, dus doe ik het maar voor een deel.

Ik zou het zo zeggen:

\(dh = df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz\)
dan is

\(\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{d(\log(y))}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{d\cos(xy)}{dx} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{d(x+y^2)}{dx} =\)

\( -\frac{\partial f}{\partial y}y\sin(xy) + \frac{\partial f}{\partial z}\)
Dit willen we naar y differentiëren.

Daarvoor moeten we de productregel toepassen.

\(\frac{dh^2}{dydx} = (\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\frac{d(\log(y))}{dy} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\frac{d(\cos(xy))}{dy} + \)
ik kon dat symbooltje niet vinden. In dit geval...klopt me antwoord wel/niet?!

Thanxx

\(\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}\frac{d(x+y^2)}{dy}).(-y\sin(xy)) + \frac{\partial f}{\partial y}(-\sin(xy)-y^2\cos(xy)) + \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}\frac{d(\log(y))}{dy} + \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}\frac{d\cos(xy)}{dy} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\frac{d(x+y^2)}{dy}\)

ik zal hiernaar kijken. Trouwens met

\(\frac{d^2h}{dydx}\)

bedoel ik eigenlijk:

\(\frac{\partial^2h}{\partial y \partial x}\)

Trouwens met
\(\frac{d^2h}{dydx}\)
bedoel ik eigenlijk:
\(\frac{\partial^2h}{\partial y \partial x}\)

Dat lijkt me sterk.

sciencetalk

partiele afgeleiden meerdere variabelen

partiele afgeleiden meerdere variabelen

Re: partiele afgeleiden meerdere variabelen

Re: partiele afgeleiden meerdere variabelen

Re: partiele afgeleiden meerdere variabelen