Het onderscheid tussen partieel en totaal
Geplaatst: di 06 mar 2007, 15:39
Bekijk de functie
Daarbuiten is de functie niet gedefinieerd.
Bekijk nu de functie
We veranderen even de y in een t, om tijd te suggereren.
Nu is (mag je van me aannemen)
Het domein van
De beweging van het domein ontgaat je daarbij.
De totale afgeleide
van de verandering in x
Dit laatste zorgt voor de verplaatsing van het domein.
\(f(x) = \sqrt{x(1-x)}\)
Het domein van deze functie is [-1,1].Daarbuiten is de functie niet gedefinieerd.
Bekijk nu de functie
\(F(x,y) = \sqrt{(x-y)(1-(x-y))}\)
De grafiek van \(x \mapsto F(x,y)\)
is identiek aan die van f, maar y naar rechts verschoven, zodat x nu slechts gedefinieerd is in [y-1,y+1].We veranderen even de y in een t, om tijd te suggereren.
Nu is (mag je van me aannemen)
\(\frac{\partial F(x,t)}{\partial t} = \frac{2(x-t)-1}{2F(x,t)}\)
Het domein van
\(x \mapsto F(x,t)\)
is afhankelijk van de tijd t, dus met \(\frac{\partial F(x,t)}{\partial t}\)
ben je lokaal (op een vaste plek x) bezig de verandering van F in de tijd te beschrijven.De beweging van het domein ontgaat je daarbij.
De totale afgeleide
\(\frac{dF(x,t)}{dx} = \frac{\partial F(x,t)}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial F(x,t)}{\partial t}\frac{dt}{dt}\)
Hierin is \(\frac{\partial F(x,t)}{\partial t}\)
de lokale verandering van F en\(\frac{\partial F(x,t)}{\partial x}\frac{dx}{dt}\)
de verandering van F veroorzaakt door het meevoeren (met plaatselijke snelheid \(\frac{dx}{dt}\)
)van de verandering in x
\(\frac{\partial F(x,t)}{\partial x}\)
.Dit laatste zorgt voor de verplaatsing van het domein.
