sciencetalk

Richard Feynman bewees de wetten van Kepler meetkundig. Zie

http://geometryexpressions.com/journal/pdf...34f1777c9bb63b0

Hij zei zelf van zijn bewijs: "all you need is infinite intelligence".

Newton bewees zijn gravitatiewetten m.b.v. de wetten van Kepler. Hij maakte daarbij gebruik van complexe getallen.

Om de een of andere reden (misschien omdat er aan complexe getallen "een luchtje" zat) werden de complexe getallen in de natuurkunde vermeden en maakte men alleen gebruik van reële vectoren.

Gelukkig hebben de huidige natuurkundigen de complexe getallen weer in hun armen gesloten.

De wetten van Kepler zijn zonder "infinite intelligence" te bewijzen m.b.v. complexe getallen.

De eerste 2 wetten zijn werkelijk simpel. De 3-de heb ik nog niet bekeken.

Wat zijn de vergelijkingen voor de snelheid

\(v\)

en de versnelling

\(a\)

in

\(\cc\)

?

De eerste 2 wetten Kepler over de beweging van planeten zijn de volgende:

a) De planeten bewegen volgens ellipsen met in het brandpunt de Zon.

b) De wet der perken:de planeten leggen per tijdseenheid dezelfde oppervlakte van hun ellips af . Dus hoe verder een planeet van de Zon hoe trager ze beweegt.

Om de baan te bepalen werken we met poolcöordinaten met oorsprong in de Zon. Op de planeten werkt een aantrekkende centraalkracht:

\(\vec{F}=f\left(r\right)\vec{r_1}\mbox{ waarbij } f\left(r\right)<0 \mbox{ en } \vec{r_1} \mbox{ eenheidsvector van Zon naar planeet }\)

De snelheid in poolcördinaten is:

\(\vec{v}=\frac{dr}{dt}\vec{r_1}+r\frac{dr}{dt}\vec{\theta_1}\mbox{ waarbij }\vec{\theta_1}\mbox{ eenheidsvector loodrecht op r }\)

De versnelling in poolcöordinaten is:

\(\vec{a}=(\frac{d^2r}{dt^2}-r(\frac{d\theta}{dt})^2)\vec{r_1}+(r\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt})\vec{\theta_1}\)

Om nu over tegaan naar complexe voorstelling kan men volgende doen in bovenstaande

\(\vec{r_1}\)

vervangen door

\(e^{i\theta}\)

en

\(\vec{\theta_1\)

door

\(e^{i(\theta+\frac{\pi}{2})}\)

Vergeet die vectoren volledig.

Een punt is

\(\cc\)

wordt als volgt weergegeven

\(z=r e^{i\phi}\)

Dus als een punt afhangt van de tijd, dan is

\(z(t)=r(t) e^{i\phi(t)}\)

Nu differentiëren:

\(v = \frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}(re^{i\phi}) = \left[\frac{dr}{dt} + ir\frac{d\phi}{dt}\right]e^{i\phi}\)

en

\(a = \frac{dv}{dt} = \left[\frac{d^2r}{dt^2} - r\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2 + 2i\frac{d\phi}{dt}\frac{dr}{dt} +ir\frac{d^2\phi}{dt^2}\right]e^{i\phi}\)

Ziet dat er niet heerlijk ingewikkeld uit?

(Merk op dat

\(v\)

en

\(a\)

geen scalairen zijn; ze bezitten ook een richting. Van die akelige eenheidsvectoren zijn we verlost).

Oke mijn afleiding is ingewikkelder, maar ik meen toch dat we hetzelfde krijgen. :neutral:

De vergelijkingen in

\(\cc\)

voor plaats

\(z\)

, snelheid

\(\frac{dz}{dt}\)

en versnelling

\(\frac{d^z}{dz^2}\)

zijn

\(z=r e^{i\phi}\)

\(v = \left[\frac{dr}{dt} + ir\frac{d\phi}{dt}\right]e^{i\phi}\)

\(a = \left[\frac{d^2r}{dt^2} - r\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2 +i \frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(r^2\frac{d\phi}{dt}\right)\right]e^{i\phi}\)

________________________________

We beginnen met de tweede wet van Kepler (de perkenwet).

Afbeelding

Als een planeet in dezelfde tijd van A naar B als van C naar D gaat, zijn de gearceerde oppervlakten I en II even groot.

Newton zegt

\(F = -g\frac{Mm}{r^2}e^{i\phi} \mbox{ en } F=ma\)

Hieruit volgt

\(ae^{-i\phi} = \frac{-gM}{r^2}\)

Het rechter lid is reëel, dus het imaginaire deel van het linker lid is 0, d.w.z.

\(\frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(r^2\frac{d\phi}{dt}\right)\right]=0\)

ofwel

\(r^2\frac{d\phi}{dt} = c\)

(

\(c\)

is een of andere constante)

We zijn klaar, want hier staat de perkenwet: De toename van de oppervlakte is op elk tijdstip constant.

Oppervlakte

\(I = \frac{1}{2}\int_{\phi_A}^{\phi_B} r^2\ d\phi = \frac{c}{2}\int_{t_A}^{t_B}dt = \frac{c}{2}\int_{t_C}^{t_D}dt = \frac{1}{2}\int_{\phi_C}^{\phi_D} r^2\ d\phi =\)

Oppervlakte

\(II\)

.

Het volgende applet kan misschien ook verheldering brengen:

applet

Ik weet niet hoe PeterPan met complexe getallen de derde wet gaat bewijzen.Maar gewoon kan men het zo:

De gravitatiekracht op de planeet=centripetale kracht dus:

\(\frac{GM_zM_p}{r^2}=\frac{M_pv^2}{r}\)

Snelheid planeet:

\( v=\frac{2\pi \ r}{T}\)

waarbij T periode of tijd 1 omloop.

Invullen en wat rekenen:

\(T^2=(\frac{4\pi^2}{GM_z})r^3=\mbox{C}r^3\)

Waarom gebruikt men bv in de elektriciteit complexe getallen en geen vectoren?

De berekeningen worden veel eenvoudiger.

Ik heb de twee topics over Kepler & complexe getallen samengevoegd.

Ik heb de twee topics over Kepler & complexe getallen samengevoegd.

Dat vind ik niet handig.

Ik wou de 3 bewijzen liever bij elkaar houden. Dat is veel overzichtelijker. Nu wordt het een puzzel waar alles staat.

Nu was er een aankondiging en een aparte topic voor de uitwerking? Samen lijkt me logischer.

De vergelijkingen in

\(\cc\)

voor plaats

\(z\)

, snelheid

\(\frac{dz}{dt}\)

en versnelling

\(\frac{d^z}{dz^2}\)

zijn

\(z=r e^{i\phi}\)

\(v = \left[\frac{dr}{dt} + ir\frac{d\phi}{dt}\right]e^{i\phi}\)

(*)

\(a = \left[\frac{d^2r}{dt^2} - r\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2 +i \frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(r^2\frac{d\phi}{dt}\right)\right]e^{i\phi}\)

________________________________

We beginnen met de tweede wet van Kepler (de perkenwet).

Afbeelding

Als een planeet in dezelfde tijd van A naar B als van C naar D gaat, zijn de gearceerde oppervlakten I en II even groot.

Newton zegt

\(F = -g\frac{Mm}{r^2}e^{i\phi} \mbox{ en } F=ma\)

Hieruit volgt

\(ae^{-i\phi} = \frac{-gM}{r^2}\)

(**)

Het rechter lid is reëel, dus het imaginaire deel van het linker lid is 0, d.w.z.

\(\frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(r^2\frac{d\phi}{dt}\right)\right]=0\)

ofwel

\(r^2\frac{d\phi}{dt} = c\)

(***) (

\(c\)

is een of andere constante)

We zijn klaar, want hier staat de perkenwet: De toename van de oppervlakte is op elk tijdstip constant.

Oppervlakte

\(I = \frac{1}{2}\int_{\phi_A}^{\phi_B} r^2\ d\phi = \frac{c}{2}\int_{t_A}^{t_B}dt = \frac{c}{2}\int_{t_C}^{t_D}dt = \frac{1}{2}\int_{\phi_C}^{\phi_D} r^2\ d\phi =\)

Oppervlakte

\(II\)

.

________________________________

De eerste wet van Kepler zegt dat alle planeten zich rond de zon bewegen in elliptische banen, waarbij de zon zich in één van de brandpunten van de ellips bevindt.

Uit (**) en (***) volgt:

\(a = \frac{d^2z}{dt^2} = \frac{-gM}{r^2}e^{i\phi} = \frac{-gM}{c}\frac{d\phi}{dt}e^{i\phi}\)

Integreren geeft

\(\frac{dz}{dt} = i\frac{gM}{c}e^{i\phi} + id\)

(d is een reële constante).

Dan met (*)

\(\frac{dr}{dt} + ir\frac{d\phi}{dt} = i\frac{gM}{c} + ide^{-i\phi}\)

Vergelijken we weer de imaginaire delen links en rechts, dan krijgen we

\(r\frac{d\phi}{dt} = \frac{gM}{c} +d\cos(\phi)\)

en met (***)

\(r = \frac{\frac{c^2}{gM}}{1+\frac{dc}{gM}\cos(\phi)}\)

en dit is een vergelijking van een ellips zoals de eerste wet voorschrijft. Zie http://farside.ph.utexas.edu/syntaxis/syntaxis/node9.html

________________________________

De derde wet van Kepler zegt, dat het kwadraat van de omlooptijd van een planeet evenredig is met de derde macht van haar langste as.

Onze ellips was van de volgende vorm

\(r = \frac{p}{1+q\cos(\phi)}\)

De helft van de lange as is vind je door

\(\phi=0\)

in te vullen, en is dus

\(p\)

Dan is de omlooptijd (volgens (***))

\(T = \int_{0}^{T}dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{r^2}{c}\ d\phi = \frac{p^2}{c}\int_{0}^{2\pi} \frac{d\phi}{(1+q\cos(\phi))^2}\ d\phi = \frac{2\pi p^2}{c(1+q^2)\sqrt{1+q^2}}\)

Dus

\(T^2 = \frac{4\pi^2 p^4}{c^2(1+q^2)^3} = \frac{4\pi^2 p^3}{gM(1+q^2)^3}\)

Dus

\(T^2\)

is evenredig met

\(p^3\)

.

PeterPan schreef:

De derde wet van Kepler zegt, dat het kwadraat van de omlooptijd van een planeet evenredig is met de derde macht van haar langste as.

Ik meen dat het afstand tot de Zon moet zijn.

\(\Phi=0\)

in je formule is r de afstand tot de Zon op dit ogenblik en de Zon staat niet in O maar in één van de brandpunten van de ellips.

Wat je geschil met TD betreft vind ik dat hij er goed aan gedaan heeft alles over Kepler samen te voegen.

De derde wet van Kepler zegt, dat het kwadraat van de omlooptijd van een planeet evenredig is met de derde macht van haar langste as, dwz de afstand zon - planeet, wanneer de planeet zich het verst van de zon bevindt.

Er zijn meerdere equivalente formuleringen mogelijk, zoals

Het kwadraat van de omlooptijd van een planeet evenredig is met de derde macht van de gemiddelde afstand tussen zon en planeet.

De zon staat in O. O is tevens een brandpunt van de ellips.

sciencetalk

Kepler in c

Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c

Re: Kepler in c