Schrijf
\(a_{n,k} = \left( a - \frac {k} {n} \right)^{-\frac12}\)
Ik toon aan dat je limiet (voor a>1 !!!) is
\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} a_{n,k-1}a_{n,k} = \ln(\frac{a}{a-1})\)
Volgens de definitie van de Riemann integraal is
\( \ln(\frac{a}{a-1}) = \int_{0}^{1} \frac{dx}{a-x} = \lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{ a - \frac {k} {n}}\)
We hoeven dus nog slechts aan te tonen dat
\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} a_{n,k-1}a_{n,k} - \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{ a - \frac {k} {n}} = 0\)
\(a_{n,k-1}a_{n,k} - \frac{1}{ a - \frac {k} {n}} = a_{n,k}(a_{n,k-1} - a_{n,k}) = \frac{a_{n,k}}{n(a-\frac{k}{n})^2(a-\frac{k-1}{n})(a_{n,k-1}+a_{n.k})}\)
Merk op dat
\(a^{-\frac12} \leq a_{n,k} \leq (a-1)^{-\frac12}\)
dan is
\( \frac{a^{-\frac12}}{2a^3(a-1)^{\frac12}}\leq \frac{a_{n,k}}{(a-\frac{k}{n})^2(a-\frac{k-1}{n})(a_{n,k-1}+a_{n.k})} \leq \frac{(a-1)^{-\frac12}}{2(a-1)^3a^{\frac12}}\)
dus
\(\lim_ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} a_{n,k-1}a_{n,k} - \frac {1}{n}\sum_ {k=1}^{n} \frac{1}{ a - \frac {k} {n}} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}f(k,n) = 0\)
waarbij
\(f(k,n)\)
tussen 2 van
\(k\)
en
\(n\)
onafhankelijke grenzen ligt.