Blij dat je het vraagt
. Wat wiskunde dan.
We starten zoals al gezegd met een direct product van ééndeeltjestoestanden.
We werken met
\(B^+=^\sqrt{2/\Omega}\sum a^+_{\alpha}a^+_{\overline{\alpha}}\)
, zijn hermitisch toegevoegde en de nummeroperator
\(N=\sum a^+_{\alpha}a_{\alpha}+a^+_{\overline{\alpha}}a_{\overline{\alpha}}\)
. Hierin staat
\(\Omega\)
voor het aantal beschikbare ééndeeltjestoestanden.
De Lie-algebra wordt gegeven door:
\([B,B^+]=1-\frac{2}{\Omega}N\)
en
\([B^+,N]=2B^+\)
(etc.)
Wat dus al op een soort intermediaire statistiek duidt. Rest de vraag, wat heeft dit met de interactie te zien?
Een typische Couperpaar-interactie in de Fockruimte wordt voorgesteld door
\(gB^+B\)
. Er blijkt; gebruikmakend van voorgaand voorbeeld dat de eerste-orde contributie vertrekkend van de Fermigrondtoestand
\(|F>=\prod a^+_ha_{\overline{h}}|0>\)
\(\frac{N}{\Omega}\)
levert, terwijl dit voor de toestand
\(|P>=(B^+)^{N/2}|0>\)
\(\frac{N}{2}\)
Voor sterke interacties zien we in absolute waarden kleine bijdragen voor
\(|F>\)
, grote bijdragen voor
\(|P>\)
. Je kan op deze manier inzien dat bij aandraaien van de interactie verder en verder naar
\(|P>\)
wordt gedraaid, en in deze zin hebben we via perturbatierekening een begrip van deze intermediaire toestand, die uiteindelijk naar een Bose-achtige toestand draait.