Laten we er vanuit gaan dat de persoon puur door de centrifugaalkracht wordt afgeworpen (dat lijkt me ook een beetje de aard van de vraag). Je moet dan de situatie bekijken waarbij de centrifugaalkracht groter wordt dan de wrijvingskracht tussen benen en stier, dus wanneer
\(F_{c}>F_{w}\)
Er geldt:
\(F_{c}=m \omega ^2 r\)
en
\(F_{w}=\mu F_{b}\)
, dus
\(m \omega ^2 r>\mu F_{b}\)
ofwel
\(\omega > \sqrt{\frac{\mu F_{b}}{mr}}\)
Nu we dat weten kan je gaan kijken naar hoe het zit met hoeksnelheid, hoekversnelling en hoek. Ik neem aan dat de stier met een constante hoekversnelling versnelt. Er geldt:
\(\omega=\frac{d \theta}{dt}\)
ofwel
\(dt=\frac{d \theta}{\omega}\)
(1) Ook geldt:
\(\alpha=\frac{d \omega}{dt}\)
ofwel
\(dt=\frac{d \omega}{\alpha}\)
(2)
Uit (1) en (2) volgt:
\(\frac{d \theta}{\omega}=\frac{d\omega}{\theta}\)
ofwel
\(\alpha d \theta=\omega d \omega\)
Beide kanten integreren:
\(\int \alpha d \theta = \int \omega d \omega\)
dus
\(\alpha \theta = \frac{1}{2} \omega ^2+C\)
C is gelijk aan nul aangezien ik aanneem dat de stier met beginsnelheid gelijk aan nul begint. Dan volgt dus:
\(\omega= \sqrt{2 \alpha \theta}\)
ofwel
\(\alpha = \frac{\omega ^2}{2 \theta}\)
(3)
Voor de hoekversnelling geldt:
\(M=I \alpha\)
Uit combineren met (3) volgt dan:
\(M=\frac{\omega ^2 I}{2 \theta}\)
Verder was eerder berekend dat
\(\omega > \sqrt{\frac{\mu F_{b}}{mr}}\)
Deze twee combineren leidt tot:
\(M>\frac{\mu F_{b} I}{2mr \theta}\)
Je kunt nu dus zelf invullen na welke hoek je op de snelheid wilt zitten waarop de persoon wordt afgeslingerd. Daar rolt dan vanzelf een aandrijfkoppel uit.
Symbolen:
\(F_{c}\)
=centrifugaalkracht
\(F_{w}\)
=wrijvingskracht tussen benen en stier
\(m\)
=massa
\(\omega\)
=hoeksnelheid
\(r\)
=afstand tussen persoon en draaipunt
\(\mu\)
=wrijvingscoëfficiënt
\(F_{b}\)
=klemkracht benen
\(\theta\)
=hoek (radialen)
\(\alpha\)
=hoekversnelling
\(M\)
=koppel
\(I\)
=traagheidsmoment
In de praktijk denk ik eerder dat mensen worden afgeslingerd door hoekversnellingen.
Als je wilt kijken naar het afslingeren van mensen door hoekversnellingen, dan heb je nog wat meer gegevens nodig. Namelijk de positie van het zwaartepunt van de persoon en ook de positie van het aangrijpingspunt van de wrijvingskracht tussen benen en stier.
