1 van 2
Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 20:49
door ametim
Ik had een vraagje mbt de volgende formule(oppervlakte cirkel zonder om te zetten naar poolcoordinaten):
\(x^2+y^2=1 \)
\(4 \cdot \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx\)
stel
\( x=\sin {(t)} \)
\(4 \cdot \int_{0}^{1} \sqrt{\cos ^2{(t)}} \cdot \cos ({t}) dt = 4 \cdot \int_{0}^{1} \cos ^2({t}) dt \)
\(4 \cdot (\int_{0}^{1} \frac{1}{2}dt + \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1} \cos ({2t})dt)\)
\( 2 + \frac{1}{4} \sin (2) \neq \pi\)
Waar ga ik de mist in
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 20:57
door stoker
als je een substitutie doet, moet je je grenzen ook vervangen.
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 21:21
door TD
Ofwel doe je dat niet, zoek je na de substitutie de onbepaalde integraal, substitueer je dan terug naar de eerste veranderlijke waarbij je dan de oorspronkelijke grenzen voor kan gebruiken.
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 21:29
door ametim
oja
dus dan krijg je:
\(
x=\sin (t)
\)
Ofwel doe je dat niet, zoek je na de substitutie de onbepaalde integraal, substitueer je dan terug naar de eerste veranderlijke waarbij je dan de oorspronkelijke grenzen voor kan gebruiken.
TD hoe had je dit in gedachten.
dan moet je cos(2t) weer omzetten naar x?
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 21:30
door TD
Als de substitutie x = sin(t) is, dan is t = Bgsin(x) of arcsin(x).
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 21:33
door ametim
Dat dacht ik al:)
Alleen hoe zet je dan cos(2t) weer om?
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 21:49
door TD
Je hebt een uitdrukking voor t. Eventueel vereenvoudig je via cos(2t) = 1-2sin²(t).
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 22:05
door ametim
Ik kom er niet helemaal uit:( zou je misschien een zetje in de rug willen geven.
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 22:09
door TD
Als x = sin(t), dan is t = arcsin(x). Dan wordt:
\(\cos \left( {2t} \right) = 1 - 2\left( {\sin t} \right)^2 \to 1 - 2\left( {\sin \arcsin x} \right)^2 = 1 - 2x^2 \)
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 22:23
door ametim
Ik kom dan uit op het volgende:
\(4\cdot (\int_{0}^{1}\frac{1}{2}dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos(x)dx-2\int_{0}^{1}x^2\cdot\cos(x)dx)\)
Ben ik op de goede weg?
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 22:25
door TD
Ik weet niet wat je nu aan het doen bent. Je doet de substitutie x = sin(t), dan moet je:
- ofwel de grenzen van x naar t mee aanpassen en de bepaalde integraal zo direct uitrekenen.
- de onbepaalde integraal in t bepalen, terug substitueren naar x en de oude grenzen gebruiken.
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 22:31
door ametim
Ik was aan het terug substitueren om zodoende weer de oorspronkelijke grenzen gebruiken...
Dan moet je dt ook weer omzetten naar dx toch? zodoende kwam ik op de integraal hierboven.
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 22:32
door TD
Dat (terug substitueren) moet je doen nadat je de (onbepaalde) integraal in t bepaald hebt.
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 22:51
door ametim
Zou je het misschien voor willen ik kom er niet uit!
Re: Oppervlakte cirkel
Geplaatst: zo 08 jul 2007, 22:57
door ametim
p.s. waar zit de edit knop?