\(f(x) = \sqrt{-1+3\sqrt{-1+3\sqrt{-1+3x}}}\)
Voor het domein moet
\(-1+3\sqrt{-1+3\sqrt{-1+3x}}\geq 0 \)
zijn.
dat wil zeggen
\(-1+3\sqrt{-1+3x}\geq \left(\frac13\right)^2 \)
(en tevens
\(-1+3\sqrt{-1+3x}\geq 0 \)
)
ofwel
\(\sqrt{-1+3x}\geq \frac{10}{27}\)
ofwel
\(-1+3x\geq \left(\frac{10}{27}\right)^2\)
(en tevens
\(-1+3x\geq 0\)
).
Dus maximale domein is
\([\frac{829}{2187},\infty)\)
.
Zoals Lucas N opmerkte zijn de oplossingen van de vergelijking
\(x = \sqrt{-1+3x}\)
oplossingen van
\(f(x) = x\)
voor zover de oplossingen binnen het definitiegebied van f liggen.
\(x = \sqrt{-1+3x}\)
kunnen we schrijven als
\(x^2 - 3x + 1 = 0\)
.
De oplossingen hier zijn
\(\rho_1 = \frac{2 - \sqrt{5}}{2}\)
en
\(\rho_2 = \frac{2 + \sqrt{5}}{2}\)
.
Alleen
\(\rho_2\)
ligt binnen het domein van f.
Om aan te tonen dat dit de enige oplossing is bekijken we 2 gevallen.
Stel
\(x > \rho_2\)
.
Dan kun je eenvoudig aantonen dat voor zulke x geldt
\(\sqrt{-1+3x} > x ( > \rho_2)\)
.
Herhaal dit kunstje nog 2 maal en je komt uit op
\(f(x) > x\)
.
Analoog geeft
\(x < \rho_2\)
uiteindelijk
\(f(x) < x\)
.
Er is dus inderdaad maar 1 oplossing.