\(\frac{ds(t_0)}{dt} = \lim_{t \to t_0} \frac{s(t)-s(t_0)}{t - t_0} = \lim_{(t_0 + \Delta t) \to t_0} \frac{s(t_0 + \Delta t)-s(t_0)}{t_0 + \Delta t - t_0} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}\)
De linker term is hier een notatie en geen echte breuk zoals al eerder gezegd. Waarschijnlijk vindt deze notatie zijn oorsprong in:
\(s(t_0 + \Delta t)-s(t_0) = \Delta s\)
dus als
\(\Delta t\) dan maar klein genoeg is dan geldt meestal wel:
\(\frac{ds(t_0)}{dt} \approx \frac{\Delta s}{\Delta t}\)
Omdat het geen echte breuk is, is het dus ook onzin om te vermenigvuldigen met dt. Wat je in werkelijkheid doet is gebruik maken van de kettingregel (dit is ook al hierboven gezegd):
\(\frac{ds(t(k))}{dk} = \frac{ds(t)}{dt} \cdot \frac{dt(k)}{dk} \rightarrow \frac{ds(t)}{dt} = \frac{\frac{ds(t(k))}{dk}}{ \frac{dt(k)}{dk}}\)
De meest rechter term is wel een echte breuk, dus je kan nu het volgende doen:
\(v = \frac{ds(t)}{dt} = \frac{\frac{ds(t(k))}{dk}}{ \frac{dt(k)}{dk}} \rightarrow \frac{ds(t(k))}{dk} = v \cdot \frac{dt(k)}{dk}\)
De stap die hierna altijd volgt is beide kanten integreren.
\(\int \frac{ds(t(k))}{dk} dk = \int v \cdot \frac{dt(k)}{dk} dk\)
Wat via de kettingregel weer te schrijven is als:
\(\int ds(t(k)) = \int v \cdot dt(k)\)
Al dat gedoe met k-tjes is alleen maar veel werk en het is net zo duidelijk om die gewoon weg te laten:
\(\int ds = \int v \cdot dt\)
Hierin denk ik dat de oorsprong ligt om
\(ds = v \cdot dt\) te schrijven. Het is een tussenstap die simpel is opgeschreven om werk te besparen. Of dit ook de daadwerkelijke oorsprong is, heb ik nog niet kunnen achterhalen (vandaar mijn vraag).