Waterstofatoom en verwachtingswaarden
Geplaatst: ma 17 dec 2007, 18:24
In een opgave over een waterstofatoom wordt gevraagd de verwachtingswaarde van r te berekenen, en van de potentiaal V.
Ter info: De potentiaal wordt gegeven door de wet van Coulomb:
Nu is
Maar wat is de fysische verklaring hiervan?
Waarom is de verwachtingswaarde van de potentiaal niet gelijk aan de potentiaal met r de verwachtingswaarde van r?
Ter info: De potentiaal wordt gegeven door de wet van Coulomb:
\(V( r)=-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}=\frac{K}{r}\)
De gegeven golffunctie is een lineaire combinatie van twee stationaire toestanden \(\psi_{nlm}\)
, die het product zijn van een functie afhankelijk van r en een functie afhankelijk van phi en theta (de bolfuncties), maar dat is niet zo belangrijk denk ik.\(\left<r\right>=\int_{0}^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^{\infty}r|\Psi(\vec{r},t)|^2 r^2\sin\theta dr d\theta d\phi\)
, met r^2 sin t de Jacobiaan van bolcoordinaten. In dit geval komt hier \(5\pi a\)
uit.Nu is
\(\left<V\right>=K\int_{0}^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^{\infty}\frac{1}{r}|\Psi(\vec{r},t)|^2 r^2\sin\theta dr d\theta d\phi\)
Het moge duidelijk zijn dat dit een ander antwoord oplevert dan \(V(\left<r\right>)\)
. Om precies te zijn:\(\left<V\right>=\frac{K\pi}{4a}\)
en \(V(\left<r\right>)=\frac{K}{\left<r\right>}=\frac{K}{5\pi a}\)
\(\int r^{-1}\)
is immers niet gelijk aan \(\left(\int r\right)^{-1}\)
(om het even cru te zeggen).Maar wat is de fysische verklaring hiervan?
Waarom is de verwachtingswaarde van de potentiaal niet gelijk aan de potentiaal met r de verwachtingswaarde van r?
) Toch begrijp ik het nog niet zo goed: