Weerstand berekenen van schijf

[jan_alleman]

Hoe begin ik met deze vraag op te lossen ? zie bijlage

[Jan van de Velde]

Dit lijkt me eerder wiskunde dan natuurkunde.

Het enige dat een wiskundige dan nog hoeft te weten is dat de weerstand van een geleider wordt gegeven door

R= ρ. l/A

met

ρ : de soortelijke weerstand van het materiaal

l : de afstand tussen twee meetpunten,

A : de oppervlakte van de doorsnede van de draad tussen de twee punten

En dan moet hij van élk oneindig dun rechthoekig plakje dat hij van de schijf kan snijden tussen a en b (l nadert naar 0) steeds de breedte bepalen (midden tussen a en b is dat 2r), de dikte d is gegeven, en daarmee A, en daarmee de weerstand van dat hele kleine plakje. Tel de weerstanden van al die plakjes bij elkaar op, en voilà.

[klazon]

Dat de weerstand onafhankelijk is van de straal van de schijf is vrij makkelijk te beredeneren. Als de schijf 2 keer zo groot wordt, dan wordt de afstand tussen a en b 2 keer zo groot, maar de oppervlakte van de doorsnede op elk punt in het stroompad wordt ook 2 keer zo groot. En aangezien die twee in de formule voor de weerstand aan verschillende zijden van de breukstreep staan compenseren ze elkaar.

[jan_alleman]

Bedankt! Als ik deze leerstof effe bekijk is het simpel, twas een tijdje geleden daarmee.

[Sybke]

Maar dan weet je toch nog niet hoe ze aan die formule komen? Ik zou zeggen dat de weerstand oneindig is, want naar de punten A en B toe wordt het doorstroomoppervlak oneindig klein.

[jan_alleman]

Bij deze oefening moet ik de integraal

\(\frac{1}{\sqrt{2y-y^2}}\)

uitrekenen, ik vind de primitieve maar niet.

[TD]

\(2y - y^2 = 1 - 1 + 2y - y^2 = 1 - \left( {1 - y} \right)^2 \)

Nu zou je aan een inverse sinus moeten denken...

[Phys]

Ik kan de opgave uit de startpost niet laden. Ligt dat aan mij?

[Jan van de Velde]

Ik kan de opgave uit de startpost niet laden. Ligt dat aan mij?

ja

weerstand 1538 keer bekeken

[Phys]

Ah, dank (laat! of vroeg!). Ik kon hem gisteren niet laden; vandaag lukt het wel. Jan_alleman, kom je eruit?

Ik heb hem net uitgerekend en kom op het goede antwoord uit. Ik ben jouw integraal echter niet tegengekomen; wel een vergelijkbare maar daar kwam een arctangens uit.

Moest er wel even over nadenken, ik heb dit gebruikt (wist ik niet uit mijn hoofd).

[Phys]

Laat ik de uitwerking nog even geven, voor eventueel geïnteresseerden.

Neem, geheel volgens de opzet van Jan van de Velde, een infinitesimaal dun rechthoekig plakje met dikte

\(d\ell\)

. Nu geldt voor de weerstand hiervan:

\(dR=\frac{\rho}{A}d\ell\)

. Voordat we kunnen integreren, moeten we het oppervlak A uitdrukken in

\(\ell\)

.

De oppervlakte van zo'n rechthoek wordt gegeven door

\(A=D.k\)

, met D de gegeven dikte van de schijf en k als volgt te bepalen (bovenaanzicht van de cirkelvormige schijf):



De groene koorde heeft lengte k, het rode stukje heeft lengte

\(\ell\)

, de straal van de cirkel is r:

\(r=\frac{k^2}{8\ell}+\frac{\ell}{2}\Rightarrow k=\sqrt{\left(r-\frac{\ell}{2}\right)8\ell}\)

.

\(\to dR=\frac{\rho d\ell}{D\sqrt{\left(r-\frac{\ell}{2}\right)8\ell}}=\frac{\rho d\ell}{D\sqrt{8r\ell-4\ell^2}}=\frac{\rho}{2D}\frac{d\ell}{\sqrt{2r\ell-\ell^2}}\)

.

Laten we dit niet integreren van -r tot r, maar twee maal van 0 tot r (twee keer een halve cirkel), om geen complexe integraal/uitkomst te krijgen:

\(R=2\int dR=2\int_0^r \frac{\rho}{2D}\frac{d\ell}{\sqrt{2r\ell-\ell^2}}=\frac{\rho}{D}\left[2\arctan{\left(\sqrt{\frac{\ell}{2r-\ell}}\right)}\right]_{\ell=0}^{\ell=r}\)

\(=\frac{2\rho}{D}[arctan(1)-\arctan(0)]=\frac{2\rho}{D}\left[\frac{\pi}{4}-0\right]=\frac{\rho\pi}{2D}\)

[Jan van de Velde]

Laat ik de uitwerking nog even geven, voor eventueel geïnteresseerden.

..//..

\(R= ......... = \frac{\rho\pi}{2D}\)

Maar de weerstand zou toch onafhankelijk moeten zijn van de diameter? In deze uitkomst prijkt nog steeds een D...

[Phys]

Nee, d (ik had het abuiselijk D, met hoofdletter, genoemd maar dat is niet zo belangrijk natuurlijk) is de dikte van de schijf; r is de straal en die komt er inderdaad niet in voor.

met D de gegeven dikte van de schijf

[Jan van de Velde]

sorry...

[Wimpie44]

De oplossing van de integraal is duidelijk.

Wat niet duidelijk is, is dat wanneer je in punten A en B de weerstand zou meten dat door de kromming van de doorsnede de punten A en B een oneindig kleine doorsnede hebben.

Met als gevolg dat de weerstand tussen A en B dan oneiding groot zou ziin.

Dus nu praktisch: hoe kan je deze weerstand meten en hoe zou je dit voorbeeld in de praktijk kunnen gebruiken ?

Voor de topic starter: bij welke opleiding of cursus werd deze opgave gevraagd ?

De opgave zie ik meer als een voorbeeld van hoe je een integraal kan loslaten op een dergelijk probleem. Alleen lijkt het alsof de randvoorwaarden niet duidelijk zijn gesteld, waardoor de integraal oplossing niet in de praktijk blijkt te kloppen. Oneindig klein oppervalk bij weerstandsmeting, dus oneindig grote weerstand..... tussen A en B.