De rode stip is het zwaartepunt van het geheel. De bruine lijn is de verbindingslijn tussen de middens van de staven.
Ik ga uit van dunne homogene staven. De ene staaf heeft lengte a en de andere staaf heeft lengte b. Het zwaartepunt van elk van de staven ligt in het midden van de betreffende staaf. Trek nu een lijn tussen de middens van de staven. Deze lijn heeft een lengte c. Ergens op deze lijn ligt het zwaartepunt van het geheel. Eerst c maar eens uitrekenen met behulp van de cosinusregel:
\(c²=\left( \frac{a}{2} \right)^2+\left( \frac{b}{2} \right)^2 -2 \frac{a}{2} \frac{b}{2}cos \theta\)
, uitwerken:
\(c=½\sqrt{a^2+b^2-2abcos\theta}\)
Je hebt nu 2 puntmassa's waarvan je het zwaartepunt moet bepalen. Dat lukt ongetwijfeld, bijvoorbeeld met momentenevenwicht rond het zwaartepunt (d.w.z. bd=ae). De lengte van de staven is meteen een maat voor de massa's. Ik kom op:
\(d=\frac{a}{a+b} \cdot c\)
\(e=\frac{b}{a+b} \cdot c\)
Voor het traagheidsmoment van een dunne staaf rond een as loodrecht op de staaf en door zijn midden geldt:
\(I=\frac{1}{12}mL^2\)
De
stelling van Steiner zegt dan dat voor het traagheidsmoment van een staaf rond het gezamelijke zwaartepunt geldt:
\(I=\frac{1}{12}mL^2+mk^2\)
waarbij k de afstand tussen het zwaartepunt van de betreffende staaf en het gezamelijke zwaartepunt is. Dit levert op
\(I_{a}=\frac{1}{12}m_{a}a^2+m_{a}e^2\)
\(I_{b}=\frac{1}{12}m_{b}b²+m_{b}d^2\)
Voor het totale massatraagheidsmoment geldt
\(I=I_{a}+I_{b}\)
Voor de massa van elke staaf geldt gewoon massa=(massa per lengte-eenheid)*lengte. Foutjes voorbehouden.
Maar kan het mis hebben!