Afgeleide van exotische functies

[Vladimir Lenin]

De afgeleide van heel wat functies kent uiteraard iedereen, maar ik heb een nagedacht over enkele andere waarop ik nog steeds het antwoord schuldig moet blijven.

Toegegeven de Sign-functie is gemakkelijk:

\(\frac{d}{dx}sign(x) = 0\)

als je de sign functie immers bekijkt zie je dat de functie steeds horizontaal loopt en alleen verspringt in het punt 0 waar de functie dan ook niet afleidbaar is.

Maar ik vroeg me af hoe je de afgeleide berekent van:

\(\frac{d}{dx}ggd(f(x),g(x))\)

\(\frac{d}{dx}kgv(f(x),g(x))\)

en volgens mij kan je nog tientallen functies bedenken waarbij de afgeleide toch niet zomaar in een standaardboek wiskunde staat. Bij mij in ieder geval niet in "Inleiding tot de Hogere Wiskunde" of "Wiskundig Redeneren"

[Phys]

Let op: de functies waar jij het over hebt "De afgeleide van heel wat functies kent uiteraard iedereen" zijn allemaal continue (differentieerbare) functies van

\(\rr\)

naar

\(\rr\)

. Dit zijn 'gladde', 'mooie' functies die zich overal netjes gedragen.

De functies waar jij het nu over hebt, zijn dat helemaal niet. Bijv. de sign-functie is discontinu in x=0, en is daar dus ook niet differentieerbaar. Je kunt dus niet zomaar zeggen

\(\frac{d}{dx}\mbox{sgn}(x)=0\)

, dat geldt alleen voor x ongelijk aan 0.

En de ggd en kgv zijn alleen maar gedefinieerd voor gehele getallen en zijn dus helemaal een verhaal apart! Het zijn eigenlijk niet eens functies te noemen. Wat denk jij bijv. van ggd(x,x^2)? Dat heef toch geen 'algemene' betekenis?

[Vladimir Lenin]

Let op: de functies waar jij het over hebt "De afgeleide van heel wat functies kent uiteraard iedereen" zijn allemaal continue (differentieerbare) functies van

\(\rr\)

naar

\(\rr\)

. Dit zijn 'gladde', 'mooie' functies die zich overal netjes gedragen.

De functies waar jij het nu over hebt, zijn dat helemaal niet. Bijv. de sign-functie is discontinu in x=0, en is daar dus ook niet differentieerbaar. Je kunt dus niet zomaar zeggen

\(\frac{d}{dx}\mbox{sgn}(x)=0\)

, dat geldt alleen voor x ongelijk aan 0.

En de ggd en kgv zijn alleen maar gedefinieerd voor gehele getallen en zijn dus helemaal een verhaal apart! Het zijn eigenlijk niet eens functies te noemen. Wat denk jij bijv. van ggd(x,x^2)? Dat heef toch geen 'algemene' betekenis?

Ik heb al functies gezien waarin ze staan, uiteraard is het dan van

\(N \to N\)

verder heb ik al aangegeven dat de sign-functie niet afleidbaar is in 0. Mijn vraag is dan ook theoretisch je hebt bijvoorbeeld ook de floor, ceiling en round functie. Deze gaan ook in schokken vooruit, maar die heb ik zelfs al heel vaak in functies zien verschijnen. Met andere woorden ik ben niet echt geïntresseerd in het eventuele nut van de afgeleiden, maar hierdoor wil ik mijn eigen, en mogelijk het algemene afgeleide-begrip uitbreiden

[TD]

De floor- en ceilingfunctie zijn niet continu en in die punten dus zeker niet afleidbaar.

Waar de functie wel afleidbaar is, is de afgeleide steeds 0.

Dat lijken me net weinig spectaculaire functies om af te leiden...

[Vladimir Lenin]

Uiteraard, maar het was dan ook niet de bedoeling om deze af te leiden, maar om de ggd en het kgv en bijvoorbeeld x! of dus f(x)! af te leiden, diegenen die niet in een normaal handboek staan, en diegenen die je ook niet zomaar uit een grafiek kan afleiden want anders had ik het klusje zelf wel geklaard.

Nog een vraagje, hoe zet je in LaTeX die tekentjes voor reëele, natuurlijke, complexe,... getallen, ik heb mij al suf gezocht maar ik vind ze precies niet.

[TD]

Functies moeten op z'n minst continu zijn om te kunnen afleiden - dat zijn kgv en ggd toch niet?

Ofwel heb je een of andere definitie in je hoofd waar dat wel kan, maar wat zijn die definities dan?

[Phys]

Ik heb al functies gezien waarin ze staan, uiteraard is het dan van

\(N \to N\)

Ik vraag me af hoe je continuïteit en differentieerbaarheid wilt definiëren bij functies van

\(\nn\to\nn\)

.

Dit zijn discrete punten, discrete functiewaarden, hoe kun je dan het limietbegrip definiëren?

verder heb ik al aangegeven dat de sign-functie niet afleidbaar is in 0.

Excuses, daar las ik overheen

[TD]

Nog een vraagje, hoe zet je in LaTeX die tekentjes voor reëele, natuurlijke, complexe,... getallen, ik heb mij al suf gezocht maar ik vind ze precies niet.

Hier is dat (klik voor de code):

\(\nn, \zz, \qq, \rr, \cc\)

Maar in normale LaTeX gaat dat via het mathbb pakket, dus \mathbb{R},... .

[Phys]

Nog een vraagje, hoe zet je in LaTeX die tekentjes voor reëele, natuurlijke, complexe,... getallen, ik heb mij al suf gezocht maar ik vind ze precies niet.

\rr, \nn, \zz:

\(\rr, \nn\, \zz\)

[Vladimir Lenin]

Nou ik dacht het gemiddelde te nemen tussen de rico van de lijn die het punt met het vorige verbind, en de lijn die het punt met het volgende verbint. Dat lijkt mij een goeie benadering.

Waarom: er bestaan programma's die wanneer je enkel punten ingeeft, een soepele functie door de punten heen tekent die volgens hetzelfde principe werkt. Op die manier zouden we het afgeleidebegrip kunnen uitbreiden naar natuurlijke getallen. Bovendien beantwoord het zo wel aan het limiet-begrip, dat wil alleen maar zeggen dat je het vorige punt gebruikt, en het volgende punt, maar aangezien je in een reëel veld werkt, ligt dit vorige punt dus op een afstand verwijdert die 0 benadert

Merci voor de LaTeX-tekentjes, dien je hiervoor in LaTeX zelf een package aan te spreken? Oeps vorige post niet gezien

[Vladimir Lenin]

Bovendien is het eigenlijk de defenitie van limit, je kan bijvoorbeeld ook een afgeleide van een functie berekenen van

\(\cc\to\cc\)

dus eigenlijk zitten tussen het eerste punt links in het reëele vlak en het punt in kwestie een oneindig aantal complexe getallen die er niets toe doen. Dus is voor mij de afgeleide in een punt n:

\(\frac{f(n+1)-f(n-1)}{2}\)

[TD]

Je verhaal met ontgaat me een beetje, de complexe afgeleide zit dan ook wat anders in elkaar dan de reële afgeleide...

[Klintersaas]

Bovendien is het eigenlijk de defenitie van limit, je kan bijvoorbeeld ook een afgeleide van een functie berekenen van

\(\cc\to\cc\)

Dat lijkt mij een vreemde definitie. Een afgeleide is namelijk een limiet en hier staat er geen.

[Phys]

Dat lijkt mij een vreemde definitie. Een afgeleide is namelijk een limiet en hier staat er geen.

Je kunt het natuurlijk vreemd vinden, maar Vladimir Lenin probeert het begrip 'afgeleide' uit te breiden naar functies van

\(\nn\)

naar

\(\nn\)

. Jouw argument dat een afgeleide gedefinieerd is als een limiet, gaat juist over de afgeleide op

\(\rr\)

(of

\(\cc\)

). Zoals gezegd:

Nou ik dacht het gemiddelde te nemen tussen de rico van de lijn die het punt met het vorige verbind, en de lijn die het punt met het volgende verbint. Dat lijkt mij een goeie benadering.

[Klintersaas]

Nu begrijp ik waar hij naartoe wilt. Als je het zo bekijkt, is het inderdaad al wat logischer.