Inverse

[Axel van de Graaf]

Hoe kan ik de inverse van y = e^(x)/x berekenen?

[ToonB]

Nou, ik begin eerlijk gezegd zelf te denken dat het behoorlijk ingewikkelder is als ik eerst dacht.

Ik kom in ieder geval uit:

\( x - ln(x) = ln(y).\)

Maar ik betwijfel of dat het antwoord is dat men zoekt.

Ben je zeker dat deze functie een inverse heeft?

Hopelijk kan iemand anders meer inzicht bieden.

ps: sorry voor dubbelpost, kon blijkbaar niet meer editten.

[Phys]

Ik kom in ieder geval uit:

\( x - ln(x) = ln(y).\)

Maar ik betwijfel of dat het antwoord is dat men zoekt.

Dat is inderdaad niet het antwoord dat men zoekt. Ten eerste is dit geen functie, en tweede is dit simpelweg een andere notatie voor de vergelijking y=e^x/x, immers neem de log aan beide zijden en je komt op jouw vergelijking uit.

Wat je zou willen, is y=e^x/x oplossen voor x, en vervolgens y en x verwisselen. Je kunt y=e^x/x echter niet oplossen naar x in elementaire functies. Je kunt hier dan ook geen inverse voor opschrijven.

ps: sorry voor dubbelpost, kon blijkbaar niet meer editten.

Ik heb het bericht verwijderd.

[PeterPan]

Een exacte inverse is expliciet niet te geven.

Ik kan wel een benadering geven van $x$ als functie van $y$:

\(f(x) = \frac {e^x}{x}\)

is een strikt stijgende functie op

\([1,\infty)\)

(dit is makkelijk te controleren door een functieonderzoek) en

\(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\)

.

Dus

\(yx = e^x\)

heeft precies één oplossing voor grote

\(y\)

.

Nu is

\(x = \log(y) + \log(x)\)

.

Als

\(x > 1\)

dan is

\(x > \log(y) > 2\)

voor

\(y\)

groot genoeg.

Dus vanaf nu zullen we veronderstellen dat

\(x > 2\)

.

Dan is

\(\log(x) < \frac12 x\)

en

\(x = \log(y) + \log(x) < \log(y) + \frac12 x\)

.

Dan is

\(\frac12 x < \log(y)\)

en

\(\log(x) < \log(2) + \log(\log(y))\)

.

Nu hebben we

\(x = \log(y) + \log(x) = \log(y) + O(\log(\log(y))\)

.

Neem logaritmes aan beide zijden:

\(\log(x) = \log( \log(y) + O(\log(\log(y))) = \log(\log(y)) + \log(1 + O(\frac {\log(\log(y))}{\log(y)}))\)

\(= \log(\log(y)) + O(\frac {\log(\log(y))}{\log(y)})\)

.

Substituteer dit resultaat in

\(x = \log(y) + \log(x)\)

.

\(x = \log(y) + \log(x) = \log(y) + \log(\log(y)) + O(\frac {\log(\log(y))}{\log(y)})\)

.

[PeterPan]

De inverse is

\(y = \log(x f(x))\)

(

\(x \ge e\)

).

Hierbij is

\(f_1(x) = \log(x)\)

,

\(f_n(x) = \log(x f_{n-1}(x))\)

voor

\(n>1\)

en

\(f(x) = \lim_{n \to \infty}f_n(x)\)

[Axel van de Graaf]

Blijkbaar is de inverse berekenen van die functie heel wat moeilijker dan ik dacht; ik zal een andere manier moeten vinden om aan de oplossing van mijn vraagstuk te komen. Toch bedankt voor de hulp.

edit: ik zit in 6 ASO

[jhnbk]

Indien dit tot een vraagstuk behoort mag je altijd het volledige vraagstuk posten; dan kunnen we je misschien op weg zetten.

De inverse is

\(y = \log(x f(x))\)

(

\(x \ge e\)

).

Hierbij is

\(f_1(x) = \log(x)\)

,

\(f_n(x) = \log(x f_{n-1}(x))\)

voor

\(n>1\)

en

\(f(x) = \lim_{n \to \infty}f_n(x)\)

Hoe kom je op deze reeks? (Staat het trouwens los van je andere post)

[dirkwb]

En hoe weet je dat hij convergeert? Dat is een rij van functies...

[PeterPan]

Als

\(x = \frac{e^y}{y}\)

,

dan is

\(y = \log(xy) = \log(x (\log(xy)) = \log(x (\log(x\log(xy))) = \log(x (\log(x\log(x \cdots ))) \)

.

De rij functies zijn puntsgewijs strikt stijgend op

\([e,\infty)\)

,

en inductief kun je aantonen dat

\(f_n(x) < \ln(x^2)\)

voor alle

\(n\)

.

[dirkwb]

De rij functies zijn puntsgewijs strikt stijgend op

\([e,\infty)\)

,

en inductief kun je aantonen dat

\(f_n(x) < \ln(x^2)\)

voor alle

\(n\)

.

Dit impliceert puntsgewijze convergentie wat je nodig hebt is uniforme convergentie:

\( \lim_{n \rightarrow \infty } ||f-f_n||_{\infty}=0 \)

[Heezen]

Ik citeer Mathematica:

x -> -ProductLog[-(1/y)]

Waarbij:

ProductLog[z]

gives the principal solution for w in z=we^w.

[jhnbk]

Inderdaad:

stel x=-u dan staat er:

\(-y = \frac{e^{-u}}{ u} \)

\(ue^u = -\frac 1y\)

\( u = W(-\frac 1y)\)

dus

\( x = -W(-\frac 1y)\)

Nu is de vraag wat we verstaan onder de inverse. Moet dit dan met elementaire functies?

[Phys]

Wat je zou willen, is y=e^x/x oplossen voor x, en vervolgens y en x verwisselen. Je kunt y=e^x/x echter niet oplossen naar x in elementaire functies. Je kunt hier dan ook geen inverse voor opschrijven.

Nu is de vraag wat we verstaan onder de inverse. Moet dit dan met elementaire functies?

Lijkt me wel ja; dit is een beetje als zeggen "de oplossing is de oplossing die voldoet aan deze vergelijking" en het dan een andere naam geven; een tautologie dus. De Lambert-W is immers per definitie de functie die de inverse is van de door TS gegeven functie. klik

[jhnbk]

Tja, dan hebben we de "inverse" gevonden.

Als ik het goed zie, kan PeterPan op die manier de LambertW uitrekenen een getal op een recursieve manier?

[PeterPan]

Dit impliceert puntsgewijze convergentie wat je nodig hebt is uniforme convergentie:

\( \lim_{n \rightarrow \infty } ||f-f_n||_{\infty}=0 \)

Sinds wanneer?