Limiet van een bijzondere reeks

[Klintersaas]

Geen huiswerk, maar pure interesse.

Ik vroeg me af of de volgende limiet bestaat en indien ja, hoe hij berekend kan worden:

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{\left( \frac23 + \frac13 \cdot \sin(n)\right)^n}{n}\)

Het zou leuk zijn indien er niet veel speciaals bij komt kijken en ik hem zelf kan oplossen. Ik vrees echter dat de limiet niet bestaat vanwege de

\(\sin(n)\)

.

[ToonB]

wel, je gaat volgens mij iets bekomen van de form

\(\frac{\infty}{\infty}\)

aangezien je een getal tot de macht oneindig gaat delen door oneindig.

Misschien zal l'Hospital iets nuttig geven?

Maar wiskunde is nooit mijn sterkste punt geweest. Kan hier niet met 100% zekerheid een antwoord op geven.

[TD]

Je kan de sinus op eenvoudige wijze afschatten in beide richtingen zodat je de insluitstelling kan gebruiken.

[yawniets]

sin(n) bevindt zich altijd tussen -1 en 1.

De teller wordt dus nooit groter dan 1.

Als je dat dan deelt door oneindig wordt het dus nul.

[Klintersaas]

Wat bedoel je precies met afschatten?

EDIT: Had ik waarschijnlijk eerder moeten vermelden, maar ik vond dit onderaan deze pagina.

[TD]

Er geldt

\( - 1 \le \sin n \le 1 \quad \forall \, n\)

Zodat

\( \frac{1}{3} \le \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\sin n \le 1\)

Bedoel je hier niet de rij in plaats van de reeks?

[Klintersaas]

Bedoel je hier niet de rij in plaats van de reeks?

Ik neem de limiet van de algemene term van de reeks, dus de titel klopt inderdaad niet helemaal.

[TD]

Aangezien je het graag zelf wou oplossen zal ik nog niet aanvullen - geraak je er met bovenstaande afschattingen?

[Klintersaas]

Ik ga vanavond nog wat anders doen, maar morgen kijk ik ernaar en zal ik melden of ik eruit geraak. In ieder geval bedankt voor de hulp (en dat geldt ook voor de anderen).

[PeterPan]

Interessant is ook de vraag:

Bestaat

\(\lim_{n \to \infty} \left( \frac23 + \frac13 \cdot \sin(n)\right)^n\)

en zo ja, wat is zijn limiet.

[Klintersaas]

Zodat

\( \frac{1}{3} \le \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\sin n \le 1\)

en zo ja, wat is zijn limiet.

Dat was inderdaad de volgende limiet die ik wilde nemen. Hier is er echter geen noemer, dus als we de limiet zouden nemen, dan wordt de uitdrukking wederom 0 of 1. Hier bestaat de limiet dus niet.

[TD]

Als we de limiet nemen wordt de teller dus 0 of 1. We krijgen dan

\(\frac{0}{+\infty} = 0\)

. De limiet is dus 0.

De limiet is inderdaad 0. De afschatting verder opgeschreven:

\(\frac{1}{3} \le \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\sin n \le 1 \Rightarrow \frac{{3^{ - n} }}{n} \le \frac{{\left( {\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\sin n} \right)^n }}{n} \le \frac{1}{n}\)

Zowel 3^-n/n als 1/n gaan naar 0, dus de ingesloten uitdrukking ook. Mooi grafisch te zien:

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(5,10,0,0.1,300,300,600,600,'((2/3+1/3*sin(n))^n)/n','1/n','3^(-n)/n')</script><!--graphend-->

[PeterPan]

Dat was inderdaad de volgende limiet die ik wilde nemen. Hier is er echter geen noemer, dus als we de limiet zouden nemen, dan wordt de uitdrukking wederom 0 of 1. Hier bestaat de limiet dus niet.

Zo simpel is het niet.

Bijvoorbeeld, de rij

\(\left(\frac12\right)^1, \left(\frac34\right)^2,\left(\frac12\right)^3, \left(\frac34\right)^4,\left(\frac12\right)^5, \left(\frac34\right)^6,\cdots\)

convergeert wel degelijk naar 0.

Het bewijs dat de limiet niet bestaat is niet makkelijk.

[dirkwb]

Het bewijs dat de limiet niet bestaat is niet makkelijk.

Wat zijn de hoofdlijnen van het bewijs?

[TD]

Zijn we dit als een reële functie van n aan het bekijken?

Neem dan een keer n = 2k.pi en eens n = (2k+1).pi...?