1 van 1
Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 10:42
door dirkwb
[attachment=3014:1.PNG]
Het gaat mij om opgave (b)
Als afschatting heb ik:
\( ||Af||_2 = \int_0^1 |x^2 f(x)|^2 \mbox{d}x \leq \int_0^1 |f(x)|^2\ \mbox{d}x =||f||_2 \)
Maar hoe moet je dan verder? Want ik heb een f_0 nodig zodanig dat
\( \frac{||Af_0||}{f_0} \)
maximaal is.
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 11:16
door PeterPan
Je afschatting is te grof.
Gebruik de Cauchy-Schwarz ongelijkheid.
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 12:22
door dirkwb
PeterPan schreef:Je afschatting is te grof.
Gebruik de Cauchy-Schwarz ongelijkheid.
Dat kan, maar deze is voldoende het gaat mij om het gedeelte daarna.
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 12:35
door PeterPan
Je afschatting is te grof voor het vinden van
\(||A||_2\)
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 12:36
door dirkwb
Nee, want er zal uiteindelijk blijken dat
\( ||A||_2 =1 \)
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 12:47
door PeterPan
Vul in
\(f(x)=x^n\)
.
Dan is
\(\frac{||Af||_2}{||f||_2} = \)
?
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 13:37
door PeterPan
Accoord?
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 14:23
door dirkwb
PeterPan schreef:Vul in
\(f(x)=x^n\)
.
Dan is
\(\frac{||Af||_2}{||f||_2} = \)
?
Ik kom uit op:
\(\sqrt{ \frac{5n}{2n+5} }\)
Hoe kom je aan deze keuze? En nu introduceer je n wat moet je dan doen? Volgens mij is die verhouding met x^n niet maximaal of zie ik iets over het hoofd?
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 14:46
door PeterPan
Ik krijg er uit
\(\sqrt{\frac{2n+1}{2n+5}}\)
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 15:23
door dirkwb
Klopt ik maakte een rekenfout.
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 16:03
door PeterPan
Probleem opgelost?
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 16:54
door dirkwb
Nee, want het klopt niet: de verhouding van Af/f is niet maximaal derhalve krijg ik geen goed resultaat.
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 17:08
door PeterPan
Toon aan, dat
\(\frac{||Af||_2}{||f||_2}\)
geen maximum heeft, maar wel een supremum!
Voor elke
\(\epsilon>0\)
is er een
\(f\)
zo dat
\(\frac{||Af||_2}{||f||_2}>1-\epsilon\)
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 20:54
door dirkwb
Ik snap niet waar je naartoe wil: x^n levert niet het het gewenste resultaat, toch?
Re: Operator norm
Geplaatst: di 06 jan 2009, 21:29
door PeterPan
Ik neem aan dat we met reëelwaardige functies te maken hebben. (Anders wat vertikale strepen zetten).
Stel
\(||Af||_2 = ||f||_2\)
voor zekere
\(f \ne 0\)
b.o..
Dan is
\(\int_0^1 x^4f^2(x)\ dx = \int_0^1 f^2(x)\ dx\)
en dus
\(\int_0^1 (1-x^4)f^2(x)\ dx = 0\)
.
Merk op dat de integrand nooit negatief is, dus de integrand is 0 en dus
\(f=0\)
b.o.
Tegenspraak!!!
Ik heb eerder aangetoond dat
\(\sup\{\frac{||Af||_2}{||f||_2}\} = 1\)
Dus
\(||A|| = 1\)
Definitie:
\(||A|| = \sup_{f\ne0 b.o.}\{\frac{||Af||_2}{||f||_2}\}\)