Wanneer is een kans discreet of continue?
Ik dacht discreet als de uitkomsten eindig of aftelbaar zijn.
Losse getallen hebben een positieve kans bv P(X=50)>0 bij de Poisson verdeling.
Met een continue kans is dat niet. bv bij Standaard Normaal heb je P(Z=1)=0
Klopt dat?
Kun je ook discrete kansen hebben waar ieder los getal kans 0 heeft?
-
stefkuh2
- Artikelen: 0
- Berichten: 1
- Lid geworden op: do 04 okt 2007, 00:21
-
TD
- Artikelen: 0
- Berichten: 24.578
- Lid geworden op: ma 09 aug 2004, 17:31
Re: Discrete of continue kans?
Als je uitkomstenverzameling eindig of aftelbaar is, dan heb je inderdaad een discrete kans(veranderlijke).
Bij een continue kans(veranderlijke) heb je een kansdichtheidsfunctie op een continue verzameling (bvb R).
Bij een continue kans(veranderlijke) heb je een kansdichtheidsfunctie op een continue verzameling (bvb R).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
Rogier
- Artikelen: 0
- Berichten: 5.679
- Lid geworden op: di 27 apr 2004, 13:40
Re: Discrete of continue kans?
Ik zou me een combinatie kunnen voorstellen, bijvoorbeeld als X continu uniform verdeeld is op \([-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\), en Y = X+|X|.
Dan
Ik denk dat we dit wel een continue kansverdeling mogen noemen waarbij een singulariteit ("los getal") toch een positieve kans heeft.
Omgekeerd, een discrete kansverdeling waarbij ieder element uit de uitkomstenruimte kans 0 heeft, daarbij zou ik me iets kunnen voorstellen zoals "
Dat is wel een vreemd geval, want niet alleen voor ieder natuurlijk getal is de kans dan 0, zelfs voor ieder interval [a,b] (met a,b
Dan
\(0\leq Y\leq 1\)
en\(\pp[Y=0]=\frac{1}{2}\)
\(\pp[a<Y<b] = \frac{b-a}{2}\ (\forall a,b: 0 \leq a \leq b \leq 1\)
)Ik denk dat we dit wel een continue kansverdeling mogen noemen waarbij een singulariteit ("los getal") toch een positieve kans heeft.
Omgekeerd, een discrete kansverdeling waarbij ieder element uit de uitkomstenruimte kans 0 heeft, daarbij zou ik me iets kunnen voorstellen zoals "
\(X\sim\nn\)
", d.w.z. de stochast X is een willekeurig natuurlijk getal.Dat is wel een vreemd geval, want niet alleen voor ieder natuurlijk getal is de kans dan 0, zelfs voor ieder interval [a,b] (met a,b
\(\in\nn\)
) is dan \(\pp[a\leq X\leq b]=0\)
.In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
Rogier
- Artikelen: 0
- Berichten: 5.679
- Lid geworden op: di 27 apr 2004, 13:40
Re: Discrete of continue kans?
Even hierover doordenkend, als de stochast X een willekeurig natuurlijk getal is, dan 
of 0?
Brengt me op een ander idee: stel dat X een willekeurig rationeel getal tussen 1 en 2 aanneemt. Zeg maar X ~ Uniform( [1,2] ). Dat lijkt me een vrij normale discrete kansverdeling. Wat is nu de verwachtingswaarde van X?
\(\pp[X>k]=1\)
voor ieder getal k. Maar wat is de verwachtingswaarde van X? of 0?Brengt me op een ander idee: stel dat X een willekeurig rationeel getal tussen 1 en 2 aanneemt. Zeg maar X ~ Uniform(
[1,2] ). Dat lijkt me een vrij normale discrete kansverdeling. Wat is nu de verwachtingswaarde van X?In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
Rogier
- Artikelen: 0
- Berichten: 5.679
- Lid geworden op: di 27 apr 2004, 13:40
Re: Discrete of continue kans?
Heb er nog eens over nagedacht, weet iemand hier meer van? Ben redelijk thuis in kansrekening maar weet zo gauw niet wat je hier mee aan zou moeten.
Of wat dacht je van deze: X is een stochast en neemt een willekeurige irrationele waarde tussen 1 en 2 aan.
Dus X ~ Uniform(A) met A = [1,2] \
Ik kan daar wel de bijbehorende kans-, kansdichtheids- en verdelingsfunctie bij maken:
Of wat dacht je van deze: X is een stochast en neemt een willekeurige irrationele waarde tussen 1 en 2 aan.
Dus X ~ Uniform(A) met A = [1,2] \
Ik kan daar wel de bijbehorende kans-, kansdichtheids- en verdelingsfunctie bij maken:
\(\pp[X=k]=0\ (\forall\ k\in\rr)\)
\(f(x) = \left\{ \startmatrix { 1 & (x\in A) \\ 0 & (x\notin A) } \endmatrix \right.\)
\(F(x) = \left\{ \startmatrix { 0 & (x\leq 1) \\ x-1 & (1<x<2) \\ 1 & (x\geq2) } \endmatrix \right.\)
Maar wat is X nu, discreet of continu? En wat is de verwachtingswaarde van X? (als die al bestaat)In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
eendavid
- Artikelen: 0
- Berichten: 3.751
- Lid geworden op: vr 15 sep 2006, 14:24
Re: Discrete of continue kans?
Een mogelijke kansverdeling zouHeb er nog eens over nagedacht, weet iemand hier meer van?
\(P[X=n]=\frac{1}{2^{n+1}}\)
kunnen zijn (0 behoort tot uitkomstenverzameling)-
stoker
- Artikelen: 0
- Berichten: 2.746
- Lid geworden op: za 08 jan 2005, 12:04
Re: Discrete of continue kans?
ik ga voor discreet, in het interval waarin je werkt zijn er (veel) elementen die geen bijhorende waarde op f(x) hebben (om niet te zeggen geen kans, want de kans op 1 waarde in een continue distributie=0).Maar wat is X nu, discreet of continu? En wat is de verwachtingswaarde van X? (als die al bestaat)
maar anderzijds denk ik dat verzameling eindig moet zijn, en in dit geval is dat niet zo.
kan het zijn dat het niet discreet én niet continu is?
ik ben nu juist statistiek aan het leren, en bij continue toevallige veranderlijken staat als 'definitie': kunnen alle reële waarden aannemen binnen een zeker interval.
-
Rogier
- Artikelen: 0
- Berichten: 5.679
- Lid geworden op: di 27 apr 2004, 13:40
Re: Discrete of continue kans?
eendavid schreef:Een mogelijke kansverdeling zou\(P[X=n]=\frac{1}{2^{n+1}}\)Voor zover ik weet is een kansverdeling discreet als zijn uitkomstenruimte aftelbaar is. Dat is een ruimer begrip dan eindig, bijvoorbeeld de Poissonverdeling of het voorbeeld van eendavid hierboven (die beide een oneindige maar wel aftelbare uitkomstenruimte hebben, namelijkik ga voor discreet, in het interval waarin je werkt zijn er (veel) elementen die geen bijhorende waarde op f(x) hebben (om niet te zeggen geen kans, want de kans op 1 waarde in een continue distributie=0).
maar anderzijds denk ik dat verzameling eindig moet zijn, en in dit geval is dat niet zo.
In het geval van een willekeurig rationeel getal tussen 1 en 2 is er nog steeds een aftelbare uitkomstenruimte. Die lijkt me ook gewoon discreet, maar ik kan niet bewijzen dat de verwachtingswaarde (die intuïtief gezien 3/2 zou moeten zijn) bestaat of wat hij zou moeten zijn.
In het geval van een willekeurig irrationeel getal tussen 1 en 2 is er een overaftelbare uitkomstenruimte. Maar ik zou hem niet continu willen noemen. Ook hier zeg ik intuïtief dat E(X)=3/2, maar wiskundig onderbouwen ho maar
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
eendavid
- Artikelen: 0
- Berichten: 3.751
- Lid geworden op: vr 15 sep 2006, 14:24
Re: Discrete of continue kans?
Wat ik niet kan bepalen: is de verwachtingswaarde in dit geval 0 (omdat\(\Sigma_{k\in\nn}\left(k\cdot\pp[X=k]\right) = 0\)), of oneindig (omdat\(\pp[X>k]=1\ \forall k\)), of bestaat hij niet?
Ik zou dit als volgt uitrekenen (ik weet dat dit iets of wat onconventioneel is, maar allicht kan dit gezien worden als een uiting van een meer rigoureuze definitie van je distributie (die zoals jij ze schrijft niet genormeerd is)):
\(\sum_{k\in\nn}\left(k\cdot\pp[X=k]\right) = \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{N-1}\left(k\cdot\pp_N[X=k]\right)\)
, waar \(\pp_N[X=k]=\frac{1}{N}\)
de kansverdeling wanneer we de getallen {0,...,N-1} beschouwen.Dan volgt onmiddelijk dat de verwachting oneindig is.
