lineaire dv van de eerste orde

[wnvl1]

Met chatgpt kom je onderstaande uit. Die absolute waarden in de laatste stap maken het wel vervelend.





Laten we de differentiaalvergelijking stap voor stap oplossen:

\[
2x(x-1)\frac{dy}{dx} + (2x-1)y = x.
\]

### Stap 1: Herformuleren
De vergelijking herschrijven door te delen door \(2x(x-1)\), zodat we de standaardvorm krijgen:
\[
\frac{dy}{dx} + \frac{2x-1}{2x(x-1)}y = \frac{x}{2x(x-1)}.
\]

---

### Stap 2: Bepalen van de integrerende factor
De standaardvorm van een lineaire differentiaalvergelijking is:
\[
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x),
\]
waar \(P(x) = \frac{2x-1}{2x(x-1)}\) en \(Q(x) = \frac{x}{2x(x-1)}\).

De integrerende factor \(\mu(x)\) is gegeven door:
\[
\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}.
\]

Bereken \(\int P(x) \, dx\):
\[
P(x) = \frac{2x-1}{2x(x-1)} = \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2x}.
\]

Daarom:
\[
\int P(x) \, dx = \int \frac{1}{2(x-1)} \, dx + \int \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x|.
\]

Dit geeft:
\[
\mu(x) = e^{\frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x|} = \sqrt{|x(x-1)|}.
\]

---

### Stap 3: Vermenigvuldigen met de integrerende factor
Vermenigvuldig de hele differentiaalvergelijking met \(\mu(x) = \sqrt{|x(x-1)|}\):
\[
\sqrt{|x(x-1)|} \frac{dy}{dx} + \sqrt{|x(x-1)|} \cdot \frac{2x-1}{2x(x-1)}y = \sqrt{|x(x-1)|} \cdot \frac{x}{2x(x-1)}.
\]

De linkerkant wordt:
\[
\frac{d}{dx}\left(\sqrt{|x(x-1)|} \cdot y\right).
\]

De vergelijking wordt nu:
\[
\frac{d}{dx}\left(\sqrt{|x(x-1)|} \cdot y\right) = \sqrt{|x(x-1)|} \cdot \frac{x}{2x(x-1)}.
\]

---

### Stap 4: Integreren
Integreer beide zijden:
\[
\sqrt{|x(x-1)|} \cdot y = \int \frac{\sqrt{|x(x-1)|}}{2(x-1)} \, dx.
\]

Op dit punt kun je de integraal verder oplossen om \(y\) expliciet te bepalen. Wil je dat ik verderga met deze stap?

[wnvl1]

Als je dan verder gaat, zegt chatgpt.




We gaan verder met het oplossen van de integraal in de vergelijking:

\[
\sqrt{|x(x-1)|} \cdot y = \int \frac{\sqrt{|x(x-1)|}}{2(x-1)} \, dx.
\]

### Stap 1: Herformuleren van de integraal
De integraal is:
\[
\int \frac{\sqrt{|x(x-1)|}}{2(x-1)} \, dx.
\]

Schrijf \(|x(x-1)|\) uit:
\[
|x(x-1)| = |x| \cdot |x-1|.
\]

Substitueer dit terug:
\[
\frac{\sqrt{|x(x-1)|}}{2(x-1)} = \frac{\sqrt{|x| \cdot |x-1|}}{2(x-1)} = \frac{\sqrt{|x|} \cdot \sqrt{|x-1|}}{2(x-1)}.
\]

We kunnen de factor \(\sqrt{|x-1|}\) en \(x-1\) verder vereenvoudigen:
\[
\int \frac{\sqrt{|x|} \cdot \sqrt{|x-1|}}{2(x-1)} \, dx.
\]

---

### Stap 2: Substitutie gebruiken
Introduceer een geschikte substitutie om het integreren eenvoudiger te maken. Stel \(u = x-1\), zodat \(du = dx\) en \(x = u+1\).

Met deze substitutie wordt \(|x| = |u+1|\) en \(|x-1| = |u|\). De integraal wordt dan herschreven als:
\[
\int \frac{\sqrt{|u+1|} \cdot \sqrt{|u|}}{2u} \, du.
\]

Dit is nog steeds complex om direct te integreren, en afhankelijk van de gewenste precisie zijn er verdere technieken mogelijk, zoals scheiding van absolute waarden in verschillende bereiken (\(x > 1\), \(0 < x < 1\), of \(x < 0\)).

---

### Stap 3: Resultaat en conclusie
De oplossing hangt af van de integratie over specifieke bereiken. Laat me weten welk specifiek bereik je wilt onderzoeken (bijvoorbeeld \(x > 1\) of \(0 < x < 1\)), zodat ik de stappen verder kan uitwerken.

[wnvl1]

Als je dan kiest voor x>1, krijg je


Voor het geval \(x > 1\), is \(|x| = x\) en \(|x-1| = x-1\). Dit vereenvoudigt de integraal:

\[
\int \frac{\sqrt{x(x-1)}}{2(x-1)} \, dx = \int \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x-1}}{2(x-1)} \, dx.
\]

### Stap 1: Vereenvoudigen
De factor \(\sqrt{x-1}\) en \((x-1)\) kunnen gedeeltelijk worden vereenvoudigd:
\[
\int \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x-1}}{2(x-1)} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} \, dx.
\]

### Stap 2: Substitutie toepassen
Voer de substitutie \(u = x-1\) uit, zodat \(x = u+1\) en \(dx = du\). Hiermee wordt de integraal:
\[
\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u+1}}{\sqrt{u}} \, du.
\]

Schrijf \(\sqrt{u+1}\) en \(\sqrt{u}\) samen als:
\[
\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u+1}}{\sqrt{u}} \, du = \frac{1}{2} \int \sqrt{\frac{u+1}{u}} \, du = \frac{1}{2} \int \sqrt{1 + \frac{1}{u}} \, du.
\]

### Stap 3: Benadering of exacte oplossing
Deze integraal kan worden opgelost met standaardtabellen of benaderingen. Voor verdere uitwerking:

1. **Breuken splitsen**: Schrijf \(\sqrt{1 + \frac{1}{u}}\) in Taylor-reeks (indien \(u \gg 1\)).
2. **Numerieke aanpak**: Bereken de integraal met behulp van numerieke methoden.

Wil je doorgaan met een specifieke aanpak, zoals een exacte oplossing of een numerieke benadering?

[wnvl1]

Chatgpt kan dan niet meer verder, maar Wolfram kan een integraal van het type \(\int\sqrt{1+\frac{1}{u}}\) du wel oplossen.

https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... x%29%5E0.5

Je komt dan inderdaad op een Bgtangens hyperbolicus zoals Prof Puntje al vroeg. Als je dan alles bij elkaar voegt is de DV opgelost.

[aadkr]

Beste ukster en wnvl1,
Ik heb vroeger de HTS gedaan en niet de universiteit. Van een integrerende factor heb ik nog nooit gehoord.
DV nummer 24 ik ben nu iets verder gekomen.
Zie mijn volgende bericht.

[aadkr]

[aadkr]

IK bezit de volgende boeken:
Hogere Wiskunde 2 in vraagstukken met beknopte theorie.
ing.A.J.G. Klomp en drs. Joh. Runhaar

Analyse deel:2
DRS.N.P. Zwikker en J.B. Ham

Analyse deel:3 Differentiaalvergelijkingen
Dr. B.Meulenbeld en Dr. A.W. Grootendorst.

[wnvl1]

Zou het niet kunnen zijn dat de opgave moet zijn

\[
x(x-1)\frac{dy}{dx} + (2x-1)y = x
\]

ipv

\[
2x(x-1)\frac{dy}{dx} + (2x-1)y = x?
\]

Dan wordt het veeel eenvoudiger. Want (2x-1) is 'toevallig' de afgeleide van x(x-1).

[aadkr]

Helaas niet. wnvl1
Maar wat me opvalt is dat de wiskundedocent niet alle dv""s heeft voorgerekend.
Deze waren denk ik voor de beste man ook te moeilijk.
Ik zal vanavond je berekening goed bestuderen.
Met de meeste hoogachting,
aad

[tempelier]

IK bezit de volgende boeken:
Hogere Wiskunde 2 in vraagstukken met beknopte theorie.
ing.A.J.G. Klomp en drs. Joh. Runhaar

Analyse deel:2
DRS.N.P. Zwikker en J.B. Ham

Analyse deel:3 Differentiaalvergelijkingen
Dr. B.Meulenbeld en Dr. A.W. Grootendorst.

In dat boek van Jan Ham staat ergens een fout.
Het betreft de regel van De l'Hôpital.
Of die fout ook in jouw druk staat weet ik helaas niet.

[aadkr]

[Professor Puntje]

Doe x-en naar andere kant, en dan links en rechts integreren.

[aadkr]

Professor Puntje. Doe het alstublieft voor want ik zie het helemaal niet meer zitten. De opgaven zijn te moeilijk voor mij.

[Professor Puntje]

Ik ben zelf op het moment ook met uitgebreide berekeningen bezig. Maar trek aan beide zijden \( \frac{2x - 1}{2(x-1)}\, \mathrm{d}x \) af, dan heb je links iets met y en dy en rechts iets met x-en en dx. Dan kun je aan beide zijden integreren.

[ukster]

opgave 42 keer bekeken