straal

[ukster]

Eenheidskubus met een centrale bol welke raakt aan elke kubuszijde.
Elk van de 8 bollen raakt een kubuszijde en ook de centrale bol.

eenheidskubus 523 keer bekeken

Wat is eigenlijk de straal van zo’n klein bolletje?

[Xilvo]

\(r=\frac{\sqrt3-1}{2(\sqrt3+1)}=0,133975\)

[ukster]

Ja, dat antwoord vind ik ook!

[RedCat]

En wat is de straal \(s\) van de tweede generatie bollen (24 stuks, hierboven slechts 1 getekend in rood met middelpunt M), die raken aan de centrale bol met straal \(R = \frac{1}{2}\), één van de kleine bollen met straal \(r = 1-\frac{1}{2}\sqrt{3}\), en twee zijvlakken van de eenheidskubus?

[wnvl1]

Is dat bedoeld als een numerieke oefening of moet het analytisch opgelost worden?

[RedCat]

Kan beide.
Analytisch/exact kom ik uit op een niet eens zo'n ingewikkeld antwoord (uitgedrukt in R en r).

[RedCat]

Met de kubus in het eerste octant en een hoekpunt in de oorsprong vind ik deze bollen (middelpunt M, straal r):

\(B_0: \{ M_0 = (0.133974596216, 0.133974596216, 0.133974596216); r_0 = y_{M_0} = z_{M_0} \}\)
\(B_1: \{ M_1 = (0.353921117205, 0.0933511596701, 0.0933511596701); r_1 = y_{M_1} = z_{M_1} \}\)
\(B_2: \{ M_2 = (0.533160482511, 0.0861752646103, 0.0861752646103); r_2 = y_{M_2} = z_{M_2} \}\)

Met de tweede generatie (bol B2) zijn we al voorbij 0.5 op de x-as.
Ik vermoed dat daarom de Apollonian cube packing nooit zo populair geworden is als de Apollonian sphere packing
https://en.wikipedia.org/wiki/Apollonian_sphere_packing.

[tempelier]

Het schijnt zo te zijn als men maar door gaat met steeds kleinere bollen de resterende inhoud niet naar nul convergeert.

Beetje Off Topic maar misschien toch aardig om te weten.

[RedCat]

Het schijnt zo te zijn als men maar door gaat met steeds kleinere bollen de resterende inhoud niet naar nul convergeert.

Vreemd: je zou verwachten dat als je iteratief de tussenruimten opvult, steeds met de grootst mogelijke bol, de kubus uiteindelijk (na oneindig generaties) volledig gevuld is.

Zijn er punten aan te wijzen die nooit geraakt worden???


Hier een aanpassing van het oorspronkelijke probleem:
De centrale rode bol heeft middelpunt K=(1/2, 1/2, 1/2) en straal R = 0.4619367072269021240829315..., waardoor de groene bollen elkaar steeds precies raken:

Het vergelijkbare probleem in 2D (dat een eenvoudiger en duidelijker plaatje levert):

De rode cirkel heeft middelpunt (1/2, 1/2) en straal R = 0.321704659509969013658289...
Op die manier raken de groene cirkels aan elke zijde van het vierkant elkaar precies.
De tussenruimtes worden opgevuld met gele cirkels, zoals in een Apolloniaans net (plaatje gemaakt met 8 generaties).

De overdekte totale oppervlakten zijn:

rode + blauwe + groene cirkels: A_tot = 0.870263976181
na de 1e generatie gele bollen: A_tot = 0.928932448506
na de 2e generatie gele bollen: A_tot = 0.958874626764
na de 3e generatie gele bollen: A_tot = 0.975272089728
na de 4e generatie gele bollen: A_tot = 0.984636577800
na de 5e generatie gele bollen: A_tot = 0.990165422522
na de 6e generatie gele bollen: A_tot = 0.993525214842
na de 7e generatie gele bollen: A_tot = 0.995621275949
na de 8e generatie gele bollen: A_tot = 0.996961596111
na de 9e generatie gele bollen: A_tot = 0.997839089877
na de 10e generatie gele bollen: A_tot = 0.998426761216

[tempelier]

Vreemd: je zou verwachten dat als je iteratief de tussenruimten opvult, steeds met de grootst mogelijke bol, de kubus uiteindelijk (na oneindig generaties) volledig gevuld is.

Het stond bij een rijtje voorbeelden waar het juiste antwoord juist tegen de verwachting in gaat.
Er stond geen bewijs bij, vermoedelijk is het nogal moeilijk net als van de dichtste bolstapeling.

Een andere was het bekleden van een cilinder met regelmatige driehoekjes ook dat convergeerde anders dan verwacht.

[Professor Puntje]

Het zou ook nog zo kunnen zijn dat de resterende inhoud niet-meetbaar is in de zin van de maattheorie...